১. নিচের কোনটি সঠিক?
i. \( 49 : 35 \) এর লঘিষ্ঠ প্রকাশ \( 7 : 5 \)
ii. পূর্বরাশি ও উত্তররাশি সমান হলে তাকে একক অনুপাত বলে
iii. অনুপাত শুধু প্রকৃত ভগ্নাংশ হয়
✓ সঠিক উত্তর: (ক) i ও ii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ৭ দিয়ে ভাগ করলে \( 7 : 5 \) হয়।
\( 1 : 1 \) কে একক অনুপাত বলে।
অনুপাত অপ্রকৃত ভগ্নাংশও হতে পারে।
---
২. দুটি সংখ্যার অনুপাত \( 3 : 2 \) এবং এদের গ.সা.গু. \( 4 \) হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 24 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি সংখ্যা দুটি হলো \( 3x \) এবং \( 2x \)।
এখানে এদের গ.সা.গু. হলো \( x \)।
প্রশ্নমতে \( x = 4 \), তাই সংখ্যা দুটি \( 12 \) ও \( 8 \)।
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. হলো \( 3 \times 2 \times x \)।
অর্থাৎ ল.সা.গু. হবে \( 6 \times 4 = 24 \)।
---
৩. দুটি সংখ্যার অনুপাত \( 3 : 4 \) এবং তাদের ল.সা.গু. \( 180 \); সংখ্যা দুটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 45, 60 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি সংখ্যা দুটি হলো \( 3x \) এবং \( 4x \)।
এদের ল.সা.গু. হবে \( 12x \)।
প্রশ্নমতে \( 12x = 180 \), যা থেকে পাই \( x = 15 \)।
প্রথম সংখ্যাটি হবে \( 3 \times 15 = 45 \)।
দ্বিতীয় সংখ্যাটি হবে \( 4 \times 15 = 60 \)।
---
৪. কোনো মিশ্রণে পানি ও সিরাপের অনুপাত \( 2 : 3 \) হলে, এতে শতকরা কত ভাগ পানি আছে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 40 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল হলো \( 2 + 3 = 5 \)।
মোট মিশ্রণে পানির অংশ হলো \( \frac{2}{5} \)।
শতকরায় প্রকাশ করতে একে \( 100 \) দিয়ে গুণ করি।
হিসাব করলে পাওয়া যায় \( 40 \) শতাংশ।
সুতরাং মিশ্রণে পানি আছে শতকরা \( 40 \) ভাগ।
---
৫. যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য \( 20\% \) বৃদ্ধি পায় তবে ক্ষেত্রফল শতকরা কত ভাগ বৃদ্ধি পাবে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 44 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি বর্গক্ষেত্রের প্রাথমিক বাহু \( 10 \) একক।
প্রাথমিক ক্ষেত্রফল হবে \( 10 \times 10 = 100 \)।
\( 20\% \) বৃদ্ধিতে নতুন বাহু হবে \( 12 \) একক।
নতুন ক্ষেত্রফল হবে \( 12 \times 12 = 144 \)।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় \( 144 - 100 = 44 \) শতাংশ।
---
৬. \( 261 \) টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে \( \frac{1}{3} : \frac{1}{5} : \frac{1}{9} \) অনুপাতে ভাগ করে দিলে ১ম ভাই কয়টি আম পাবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \( 135 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশ অনুপাতকে পূর্ণসংখ্যায় রূপান্তর করি।
হরগুলোর ল.সা.গু. \( 45 \) দিয়ে গুণ করলে অনুপাত হয় \( 15 : 9 : 5 \)।
অনুপাতের যোগফল হলো \( 15 + 9 + 5 = 29 \)।
১ম ভাইয়ের আমের সংখ্যা \( 261 \times \frac{15}{29} \)।
হিসাব করলে ১ম ভাই আম পাবে \( 135 \) টি।
---
৭. সাকিব ও তামিমের রানের অনুপাত \( 9 : 7 \)। তাদের মোট রান \( 2000 \) হলে, সাকিবের রান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 1125 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল হলো \( 9 + 7 = 16 \)।
সাকিবের রানের অংশ হলো মোট রানের \( \frac{9}{16} \)।
সাকিবের রান হবে \( 2000 \times \frac{9}{16} \)।
কাটাকাটি করলে মান আসে \( 125 \times 9 \)।
সুতরাং সাকিবের রান হলো \( 1125 \)।
---
৮. কোনো বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য তিনগুণ বৃদ্ধি করলে উহার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \( 9 \) গুণ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি বর্গের প্রাথমিক বাহু \( a \)।
প্রাথমিক ক্ষেত্রফল হবে \( a^2 \)।
বাহু তিনগুণ হলে নতুন বাহু হবে \( 3a \)।
নতুন ক্ষেত্রফল হবে \( (3a)^2 = 9a^2 \)।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় পূর্বের ক্ষেত্রফলের \( 9 \) গুণ।
---
৯. \( x : y = 3 : 4 \) এবং \( y : z = 2 : 5 \) হলে \( x : y : z \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 3 : 4 : 10 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রথম অনুপাতে \( y \) এর মান \( 4 \)।
দ্বিতীয় অনুপাতকে ২ দিয়ে গুণ করি যেন \( y \) এর মান \( 4 \) হয়।
দ্বিতীয় অনুপাতটি দাঁড়ায় \( 4 : 10 \)।
এখন \( y \) এর মান উভয় ক্ষেত্রে সমান।
সুতরাং ধারাবাহিক অনুপাতটি হলো \( 3 : 4 : 10 \)।
---
১০. \( 2 : 3 \) এবং \( 9 : 10 \) এর ধারাবাহিক অনুপাত কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \( 6 : 9 : 10 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রথম অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করি।
এতে অনুপাতটি দাঁড়ায় \( 6 : 9 \)।
দ্বিতীয় অনুপাতে পূর্ব রাশি \( 9 \) দেওয়া আছে।
উভয় অনুপাতে সাধারণ রাশির মান সমান করা হলো।
ধারাবাহিক অনুপাতটি হবে \( 6 : 9 : 10 \)।
---
১১. দুটি সরল অনুপাত \( 2 : 4 \) এবং \( 5 : 7 \) এর ধারাবাহিক অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 5 : 10 : 14 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রথম অনুপাত \( 2 : 4 \) কে লঘিষ্ঠ করলে হয় \( 1 : 2 \)।
দ্বিতীয় অনুপাতটি হলো \( 5 : 7 \)।
প্রথম অনুপাতকে ৫ দিয়ে গুণ করলে হয় \( 5 : 10 \)।
দ্বিতীয় অনুপাতকে ২ দিয়ে গুণ করলে হয় \( 10 : 14 \)।
ধারাবাহিক অনুপাতটি দাঁড়ায় \( 5 : 10 : 14 \)।
---
১২. যদি \( K : L = 2 : 3 \) এবং \( L : M = 4 : 5 \) হয়, তবে \( M : K = \) কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \( 15 : 8 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধারাবাহিক অনুপাত বের করতে \( L \) এর মান সমান করি।
প্রথম অনুপাতকে ৪ দিয়ে গুণ করলে হয় \( 8 : 12 \)।
দ্বিতীয় অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করলে হয় \( 12 : 15 \)।
এখানে \( K=8 \) এবং \( M=15 \) পাওয়া যায়।
সুতরাং \( M : K \) অনুপাতটি হবে \( 15 : 8 \)।
---
১৩. দুটি সংখ্যার অনুপাত \( 3 : 4 \) এবং এদের গ.সা.গু. \( 5 \) হলে সংখ্যা দুটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 15, 20 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি সংখ্যা দুটি হলো \( 3x \) এবং \( 4x \)।
এখানে গ.সা.গু. হলো \( x \)।
দেওয়া আছে \( x = 5 \)।
প্রথম সংখ্যাটি হবে \( 3 \times 5 = 15 \)।
দ্বিতীয় সংখ্যাটি হবে \( 4 \times 5 = 20 \)।
---
১৪. দুটি সংখ্যার অনুপাত \( 2 : 3 \) এবং সমষ্টি \( 85 \) হলে, বৃহত্তর সংখ্যাটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 51 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাতের রাশি দুটির যোগফল হলো \( 2 + 3 = 5 \)।
বৃহত্তর সংখ্যাটির অংশ হলো মোট সমষ্টির \( \frac{3}{5} \)।
বৃহত্তর সংখ্যাটি হবে \( 85 \times \frac{3}{5} \)।
হিসাব করলে পাওয়া যায় \( 17 \times 3 \)।
অর্থাৎ বৃহত্তর সংখ্যাটি হলো \( 51 \)।
---
১৫. দুটি রাশির বিয়োগফল \( 44 \) এবং রাশি দুটির অনুপাত \( 1 : 3 \) হলে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 22 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি সংখ্যা দুটি হলো \( x \) এবং \( 3x \)।
এদের বিয়োগফল হবে \( 3x - x = 2x \)।
প্রশ্নমতে \( 2x = 44 \), যা থেকে পাই \( x = 22 \)।
এখানে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি হলো \( x \)।
সুতরাং সঠিক উত্তর হলো \( 22 \)।
---
১৬. আফসার সাহেব ও তার পুত্রের বয়সের অনুপাত \( 9 : 2 \)। পুত্রের বয়স \( 12 \) বছর হলে আফসার সাহেবের বয়স কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \( 54 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি আফসার সাহেবের বয়স \( 9x \) এবং পুত্রের বয়স \( 2x \)।
দেওয়া আছে পুত্রের বয়স \( 2x = 12 \)।
এখান থেকে পাই \( x = 6 \)।
আফসার সাহেবের বয়স হবে \( 9 \times 6 \)।
অর্থাৎ আফসার সাহেবের বয়স \( 54 \) বছর।
---
১৭. পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত \( 4 : 1 \) এবং পুত্র ও কন্যার বয়সের অনুপাত \( 1 : 2 \) হলে, পিতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 2 : 1 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাত দুটিকে ধারাবাহিক অনুপাতে সাজাই।
পিতা : পুত্র : কন্যা = \( 4 : 1 : 2 \)।
এখানে পিতার অংশ ৪ এবং কন্যার অংশ ২।
পিতা ও কন্যার অনুপাত হবে \( 4 : 2 \)।
লঘিষ্ঠ করলে এই অনুপাতটি দাঁড়ায় \( 2 : 1 \)।
---
১৮. ঊষা ও মাহির টাকার অনুপাত \( 2 : 3 \) এবং মাহি ও সামির টাকার অনুপাত \( 2 : 5 \) হলে, তাদের টাকার ধারাবাহিক অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 4 : 6 : 15 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সাধারণ রাশি মাহির মান সমান করতে হবে।
প্রথম অনুপাতকে ২ দিয়ে গুণ করলে হয় \( 4 : 6 \)।
দ্বিতীয় অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করলে হয় \( 6 : 15 \)।
এখন মাহির মান উভয় ক্ষেত্রে ৬।
ধারাবাহিক অনুপাতটি হবে \( 4 : 6 : 15 \)।
---
১৯. পুলক, পারু ও মিথিলার টাকার অনুপাত \( 2 : 3 : 9 \) হলে, পারু ও মিথিলার টাকার অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 1 : 3 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধারাবাহিক অনুপাত থেকে পারু ও মিথিলার অংশ নিই।
পারুর অংশ ৩ এবং মিথিলার অংশ ৯।
এদের অনুপাত হলো \( 3 : 9 \)।
উভয় রাশিকে ৩ দিয়ে ভাগ করলে হয় \( 1 : 3 \)।
সুতরাং সঠিক অনুপাতটি হলো \( 1 : 3 \)।
---
২০. \( \frac{2}{3} : \frac{1}{3} \) ও \( \frac{1}{3} : \frac{1}{2} \) এর ধারাবাহিক অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 4 : 2 : 3 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রথম অনুপাত \( \frac{2}{3} : \frac{1}{3} \) কে সরল করলে হয় \( 2 : 1 \)।
দ্বিতীয় অনুপাত \( \frac{1}{3} : \frac{1}{2} \) কে সরল করলে হয় \( 2 : 3 \)।
প্রথম অনুপাতকে ২ দিয়ে গুণ করলে হয় \( 4 : 2 \)।
এখন ধারাবাহিক অনুপাতটি দাঁড়ায় \( 4 : 2 : 3 \)।
---
২১. \( K : L = 2 : 3, L : M = 1 : 2 \) হলে \( K : M = \) কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 1 : 3 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাত দুটিকে ভগ্নাংশ আকারে গুণ করি।
\( \frac{K}{L} \times \frac{L}{M} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \)।
বামপক্ষে \( L \) কাটা গিয়ে থাকে \( \frac{K}{M} \)।
ডানপক্ষে গুণ করলে পাওয়া যায় \( \frac{1}{3} \)।
সুতরাং \( K : M \) এর মান হলো \( 1 : 3 \)।
---
২২. \( A : B = 3 : 4, B : C = 1 : 2 \) এবং \( C : D = 2 : 3 \) হলে \( A : D = \) কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 1 : 4 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সবগুলো অনুপাতকে ভগ্নাংশ আকারে গুণ করি।
\( \frac{A}{B} \times \frac{B}{C} \times \frac{C}{D} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \)।
বামপক্ষে থাকে \( \frac{A}{D} \)।
ডানপক্ষে সব কাটাকাটি করার পর থাকে \( \frac{1}{4} \)।
অর্থাৎ \( A : D \) এর মান হলো \( 1 : 4 \)।
---
২৩. \( K : L = 2 : 3, L : M = 4 : 3 \) হলে \( K : L : M = \) কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \( 8 : 12 : 9 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সাধারণ রাশি \( L \) এর মান সমান করতে হবে।
প্রথম অনুপাতকে ৪ দিয়ে গুণ করলে হয় \( 8 : 12 \)।
দ্বিতীয় অনুপাতকে ৩ দিয়ে গুণ করলে হয় \( 12 : 9 \)।
এখন \( L \) এর মান উভয় ক্ষেত্রে ১২।
ধারাবাহিক অনুপাতটি হলো \( 8 : 12 : 9 \)।
---
২৪. \( 3, 7, 9 \) এর চতুর্থ সমানুপাতী নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \( 21 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি চতুর্থ সমানুপাতী হলো \( x \)।
সমানুপাতের নিয়ম অনুযায়ী, \( 3 : 7 = 9 : x \)।
বা, \( \frac{3}{7} = \frac{9}{x} \)।
আরগুণন করলে পাই \( 3x = 63 \)।
সুতরাং \( x = 21 \)।
---
২৫. \( 3, 5, 12 \) এর চতুর্থ সমানুপাতী নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 20 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি চতুর্থ সমানুপাতী হলো \( x \)।
শর্তমতে, \( 3 : 5 = 12 : x \)।
বা, \( \frac{3}{5} = \frac{12}{x} \)।
আরগুণন করলে পাওয়া যায় \( 3x = 60 \)।
সুতরাং \( x = 20 \)।
---