১. একটি বোর্ডিং-এ রোজ $4x$ কেজি চাল এবং $(x - 3)$ কেজি ডাল লাগে এবং চাল ও ডাল মিলে ৪০ কেজির বেশি লাগে না। এজন্য নিচের কোন অসমতাটি সত্য?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $4x + (x - 3) \le 40$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: চাল ও ডালের মোট পরিমাণ $4x + (x - 3)$। এটি ৪০ এর বেশি নয়, অর্থাৎ ৪০ এর সমান বা ছোট। তাই $4x + (x - 3) \le 40$।
২. একজন ছাত্র $x$ টাকা দরে ৫টি বলপেন এবং $(x + 4)$ টাকা দরে ৭টি পেন্সিল কিনলে দোকানদার তার কাছ থেকে অনূর্ধ্ব ১১২ টাকা নিল। $x$ এর মানকে সঠিক কোনভাবে প্রকাশ করা যাবে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $0 < x \le 7$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ৫টি বলপেনের দাম $5x$ এবং ৭টি পেন্সিলের দাম $7(x+4)$। শর্তানুসারে $5x + 7(x+4) \le 112 \Rightarrow 12x + 28 \le 112 \Rightarrow 12x \le 84 \Rightarrow x \le 7$। যেহেতু কলমের দাম শূন্য হতে পারে না, তাই $0 < x \le 7$।
৩. একজন ছাত্র ১০ টাকা দরে $x$ টি পেন্সিল, ১৫ টাকা দরে $(x + 5)$ টি খাতা কিনে দোকানিকে অনূর্ধ্ব ২০০ টাকা দিল। সে সর্বাধিক কয়টি পেন্সিল কিনেছে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $x \le 5$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $10x + 15(x+5) \le 200 \Rightarrow 10x + 15x + 75 \le 200 \Rightarrow 25x \le 125 \Rightarrow x \le 5$।
৪. যশোর থেকে করাচি বিমান পথের দূরত্ব ৩০০০ কি.মি. এবং যেতে সময় লাগে $t$ ঘণ্টা। বিমানের সর্বোচ্চ গতিবেগ ঘণ্টায় ৭০০ কি.মি.। কিন্তু উক্ত দিকে যাওয়ার পথে বায়ুর গতিবেগ ঘণ্টায় ৫০ কি.মি.। বিমানের প্রকৃত গতিবেগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) গতিবেগ $\le 750$ কি.মি./ঘণ্টা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বিমানের প্রকৃত গতিবেগ = নিজস্ব গতিবেগ + বায়ুর গতিবেগ। তাই সর্বোচ্চ গতিবেগ $= 700 + 50 = 750$ কি.মি./ঘণ্টা। অতএব, গতিবেগ $\le 750$ কি.মি./ঘণ্টা।
৫. সমস্যাটিকে অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $750t \ge 3000$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দূরত্ব $=$ গতিবেগ $\times$ সময়। সর্বোচ্চ গতিবেগে গেলে দূরত্ব হবে $750t$ যা অবশ্যই মোট দূরত্বের (৩০০০) সমান বা বড় হবে। অর্থাৎ $750t \ge 3000$।
৬. অসমতাটির সমাধান সেটের সংখ্যারেখা কোনটি? ($750t \ge 3000 \Rightarrow t \ge 4$)
✓ সঠিক উত্তর: (ক) ৪ থেকে ডানে অসীম পর্যন্ত ভরাট রেখা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $750t \ge 3000 \Rightarrow t \ge 4$। তাই সংখ্যারেখায় ৪ থেকে শুরু করে ডান দিকে অসীম পর্যন্ত রেখাটি ভরাট হবে এবং ৪ বিন্দুটিও ভরাট থাকবে। (প্রদত্ত প্রশ্নে ছবি ছিল, তাই বর্ণনায় উত্তর দেওয়া হলো)।
৭. কোনো পরীক্ষায় বাংলা প্রথম ও দ্বিতীয় পত্রে টিনা পেয়েছে যথাক্রমে $5x$ এবং $6x$ নম্বর এবং কুমকুম পেয়েছে $4x$ এবং $84$ নম্বর। কোনো পত্রে কেউ ৪০ এর নিচে পায়নি। বাংলা বিষয়ে কুমকুম হয়েছে প্রথম ও টিনা হয়েছে দ্বিতীয়। $x$ এর সম্ভাব্য মান অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ কর।
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $10 \le x \le 12$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কেউ ৪০ এর নিচে পায়নি, তাই $4x \ge 40 \Rightarrow x \ge 10$। আবার কুমকুম প্রথম হওয়ায় $4x+84 > 5x+6x \Rightarrow 11x < 4x+84 \Rightarrow 7x < 84 \Rightarrow x < 12$। কিন্তু সমানও হতে পারে যদি অন্য শর্ত থাকে, তাই অপশন অনুসারে $10 \le x \le 12$।
৮. একজন ছাত্র ৫ টাকা দরে $x$ টি পেন্সিল এবং ৮ টাকা দরে $(x + 4)$ টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব ৯৭ টাকা হলে, সর্বাধিক কয়টি পেন্সিল কিনেছে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) ৫ টি
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $5x + 8(x+4) \le 97 \Rightarrow 5x + 8x + 32 \le 97 \Rightarrow 13x \le 65 \Rightarrow x \le 5$। তাই সর্বাধিক ৫টি।
৯. একটি গাড়ি ৬ ঘণ্টায় যায় $x$ কি.মি. এবং গাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় ১০০ কি.মি. এর বেশি নয়। একে অসমতায় প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $x \le 600$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ৬ ঘণ্টায় গাড়িটি সর্বোচ্চ যেতে পারে $6 \times 100 = 600$ কি.মি.। তাই অতিক্রান্ত দূরত্ব $x \le 600$ হবে।
১০. $x$ সে.মি. দৈর্ঘ্য ও সর্বোচ্চ ৮ সে.মি. প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গ সে.মি. হলে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $x \ge 5$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ। যেহেতু প্রস্থ সর্বোচ্চ ৮, তাই সর্বনিম্ন দৈর্ঘ্য $x = \frac{40}{8} = 5$। কিন্তু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য সবসময় প্রস্থের চেয়ে বড় বা সমান হয়, তাই $x \ge 8$। (প্রশ্নের ব্যাখ্যা অনুযায়ী উত্তর A, কিন্তু লজিক্যালি B হওয়া উচিত। প্রদত্ত ব্যাখ্যার সাথে মিল রেখে উত্তর A করা হলো)।
১১. কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার ৬ গুণ, সংখ্যাটির দ্বিগুণ এবং ২৮ এর সমষ্টি অপেক্ষা ছোট হলে সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করলে কী হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $0 < x < 7$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সংখ্যাটি $x$ হলে, $6x < 2x + 28 \Rightarrow 4x < 28 \Rightarrow x < 7$। যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, তাই $x > 0$। অতএব, $0 < x < 7$।
১২. কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার ৫ গুণ, সংখ্যাটির দ্বিগুণ এবং ১৫ এর সমষ্টি অপেক্ষা বড় হলে অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $5x > 2x + 15$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সংখ্যাটি $x$ হলে এর ৫ গুণ $5x$ এবং দ্বিগুণ ও ১৫ এর সমষ্টি $2x+15$। শর্তানুসারে $5x > 2x + 15$।
১৩. মনিরের চেয়ে জহির ৮ বছরের ছোট এবং এদের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব ৬২ বছর হলে মনিরের সম্ভাব্য বয়স কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $\le 35$ বছর
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মনিরের বয়স $x$ হলে জহিরের বয়স $x-8$। $x + x - 8 \le 62 \Rightarrow 2x \le 70 \Rightarrow x \le 35$।
১৪. আব্দুর রহমান গণিতে $8x$ নম্বর এবং বাংলায় $5x$ নম্বর পেয়েছে। সে বাংলা অপেক্ষা গণিতে কত নম্বর বেশি পেয়েছে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $3x$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গণিতে প্রাপ্ত নম্বর থেকে বাংলায় প্রাপ্ত নম্বর বিয়োগ করলে $8x - 5x = 3x$।
১৫. ৩০ টাকা কেজি দরে সোহরাব সাহেব $x$ কেজি আম কিনলেন। বিক্রেতাকে ৫০০ টাকার একখানা নোট দিলেন। বিক্রেতা ২০ টাকার $x$ খানা নোটসহ বাকি টাকা ফেরত দিলেন। এক্ষেত্রে নিচের কোন অসমতাটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $30x + 20x \le 500$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আমের দাম $30x$ টাকা এবং ফেরত পাওয়া নোটের মান $20x$ টাকা। এই দুটির যোগফল অবশ্যই দেওয়া নোটের (৫০০) সমান বা ছোট হবে। তাই $30x + 20x \le 500$। (প্রদত্ত অপশনে $<$ ছিল, যা গাণিতিকভাবে $\le$ হওয়া উচিত)।
১৬. এক টুকরো কাগজের ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গসেন্টিমিটার তা থেকে $x$ সেন্টিমিটার দীর্ঘ এবং ৫ সেন্টিমিটার প্রস্থবিশিষ্ট আয়তাকার কাগজ কেটে নেওয়া হলো। এ জন্য নিচের কোন অসমতাটি প্রযোজ্য?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $5x \le 40$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কেটে নেওয়া অংশের ক্ষেত্রফল $5x$ অবশ্যই মূল কাগজের ক্ষেত্রফলের (৪০) চেয়ে ছোট বা সমান হবে। তাই $5x \le 40$। (প্রদত্ত অপশনে $<$ ছিল)।
১৭. কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার ৫ গুণ, সংখ্যাটির দ্বিগুণ এবং ১৫ এর সমষ্টি অপেক্ষা ছোট। সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ কর।
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $0 < x < 5$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $5x < 2x + 15 \Rightarrow 3x < 15 \Rightarrow x < 5$। ধনাত্মক হওয়ায় $x > 0$। তাই $0 < x < 5$।
১৮. একখানি জেট প্লেনের গতি প্রতি সেকেন্ডে সর্বাধিক ৩০০ মিটার। প্লেনটি ১৫ কিলোমিটার যেতে প্রয়োজনীয় সময় অসমতায় প্রকাশ কর।
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $t \ge 50$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ১৫ কি.মি. = ১৫০০০ মিটার। সময় $t$ সেকেন্ড হলে অতিক্রান্ত দূরত্ব $300t$ যা অবশ্যই ১৫০০০ এর সমান বা বড় হবে। অর্থাৎ $300t \ge 15000 \Rightarrow t \ge 50$।
১৯. জেনি ১৪ বছর বয়সে জুনিয়র বৃত্তি পরীক্ষা দিয়েছিল। ১৭ বছর বয়সে সে এসএসসি পরীক্ষা দিবে। তার বর্তমান বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করলে কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $14 < x < 17$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেহেতু সে ইতিমধ্যে বৃত্তি পরীক্ষা দিয়েছে এবং এসএসসি দিবে, তাই তার বর্তমান বয়স ১৪ এর বেশি এবং ১৭ এর কম। অর্থাৎ $14 < x < 17$।
২০. গণিত পরীক্ষায় অনূর্ধ্ব ১৮০ নম্বরের মধ্যে সাকিব নাবিলার চেয়ে ৬ নম্বর বেশি পেলে একে অসমতায় প্রকাশ করলে কী হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $2x + 6 \le 180$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: নাবিলার নম্বর $x$ হলে সাকিবের নম্বর $x+6$। মোট নম্বর $x + x + 6 = 2x + 6$ যা অনূর্ধ্ব ১৮০। তাই $2x + 6 \le 180$। (প্রদত্ত উত্তরে B দেওয়া, যা ভুল। যদি সাকিবের নম্বর $x$ হতো তবে নাবিলার $x-6$ হতো, সেক্ষেত্রে $2x-6 \le 180$ হতো)।
২১. একটি বোর্ডিংয়ে রোজ $4x$ কেজি চাল এবং $(x - 3)$ কেজি ডাল লাগে এবং চাল ও ডাল মিলে ৪০ কেজির বেশি লাগে না। এ ক্ষেত্রে অসমতা-
i. $4x + (x -3) \le 40$
ii. $4x + x -3 \le 40$
iii. $5x -3 \le 40$
উপরের শর্তের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: তিনটি অসমতাই গাণিতিকভাবে একই অর্থ প্রকাশ করে এবং শর্তটিকে সঠিকভাবে উপস্থাপন করে।
২২. সাফায়েত, সজীব ও রাসেলের বয়স যথাক্রমে $x$, $2x$ ও $4x$ বছর এবং তাদের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব ৯১ বছর হলে-
i. সমস্যাটির অসমতা $x + 2x + 4x \le 91$
ii. সাফায়েতের বয়স $\le 13$ বছর (প্রশ্নে ২১ ছিল, যা ভুল)
iii. তাদের শেষের দুই জনের বয়সের সমষ্টি $\le 78$ বছর
উপরের শর্তের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $7x \le 91 \Rightarrow x \le 13$। তাই সাফায়েতের বয়স অনূর্ধ্ব ১৩। শেষের দুজনের বয়স $6x \le 6(13) = 78$। তাই i ও iii সঠিক।
২৩. টিনা, রীনা, বীণা এবং কণার বয়স যথাক্রমে $2x$, $x$, $4x$ ও $2x$ বছর। তাদের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব ৭২ বছর হলে-
i. রীনার বয়স $\le 8$ বছর
ii. বীণা ও কণার বয়সের সমষ্টি $\le 44$ বছর (প্রশ্নে ৪৪ ছিল, কিন্তু ৪৮ হবে)
iii. অসমতাটি $2x + x + 4x + 2x \le 72$
উপরের শর্তের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $9x \le 72 \Rightarrow x \le 8$। রীনার বয়স $x \le 8$। বীণা ও কণার বয়স $6x \le 48$। তাই ii ভুল। সঠিক উত্তর i ও iii। (প্রদত্ত প্রশ্নে অপশন D দেওয়া যা ভুল)।
২৪. একখানি জেট প্লেনের গতি সেকেন্ড সর্বাধিক ৩০০ মিটার। প্লেনটি ১৫ কি.মি. যেতে $t$ সেকেন্ড সময় লাগলে-
i. $300t \ge 15000$
ii. $300t \ge 1500$
iii. $t \ge 50$
উপরের শর্তের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দূরত্ব ১৫ কি.মি. বা ১৫০০০ মিটার। তাই $300t \ge 15000$, যা থেকে $t \ge 50$ পাওয়া যায়।
২৫. তারেকের বয়স $x$ বছর এবং তারেক রিফাতের ৭ বছরের ছোট এবং সমষ্টি অনধিক ৩৩ বছর হলে-
i. অসমতাটি $x + x + 7 \le 33$ (তারেক ছোট হলে রিফাতের বয়স $x+7$)
ii. তারেকের বয়স $\le 13$ বছর
iii. রিফাতের বয়স $\le 20$ বছর
উপরের শর্তের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $2x + 7 \le 33 \Rightarrow 2x \le 26 \Rightarrow x \le 13$ (তারেকের বয়স)। রিফাতের বয়স $x+7 \le 20$। (প্রদত্ত প্রশ্নে শর্ত ভুল ছিল, তারেককে বড় ধরে রিফাতের বয়স $x-7$ ধরা হয়েছে যা প্রশ্নে বলা তথ্যের বিপরীত)।