১. একটি পাহাড়ে ওঠার রাস্তার ঢাল \( 30^\circ \)। এক ব্যক্তি ওই রাস্তায় ৩ কি.মি. উঠলে তিনি ভূমি থেকে কত উচ্চতায় আছেন?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 1.5 \) কি.মি.
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে ঢাল বা উন্নতি কোণ \( \theta = 30^\circ \)।
রাস্তার দৈর্ঘ্য অতিভুজ \( L = 3 \) কি.মি.।
উচ্চতা \( h = L \sin 30^\circ \)।
\( h = 3 \times 0.5 = 1.5 \) কি.মি.।
---
২. একটি খুঁটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত \( 1:\sqrt{3} \) হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 30^\circ \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি, উন্নতি কোণ \( \theta \)।
প্রশ্নমতে, \( \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \)।
আমরা জানি, \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)।
সুতরাং, \( \theta = 30^\circ \)।
উত্তর: সূর্যের উন্নতি কোণ ৩০ ডিগ্রি।
---
৩. একটি টাওয়ারের উচ্চতা ১০০ মিটার। এর পাদদেশ থেকে ১০০ মিটার দূরে উন্নতি কোণ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 45^\circ \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে লম্ব ১০০ এবং ভূমি ১০০।
আমরা জানি, \( \tan \theta = \frac{100}{100} = 1 \)।
আবার, \( \tan 45^\circ = 1 \)।
সুতরাং, উন্নতি কোণ \( 45^\circ \)।
লম্ব ও ভূমি সমান হলে কোণ ৪৫ হয়।
---
৪. ভূ-রেখার উপরের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে কী বলে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) উন্নতি কোণ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সংজ্ঞা অনুযায়ী, ভূমির সমান্তরাল রেখার
উপরের কোনো বিন্দু যে কোণ উৎপন্ন করে
তাকে উন্নতি কোণ বলা হয়।
এটি দৃষ্টিরেখা ও ভূ-রেখার মধ্যবর্তী কোণ।
উত্তর: উন্নতি কোণ।
---
৫. ১৮ মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে এবং ভূমির সাথে \( 45^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে। দেয়ালটির উচ্চতা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 9\sqrt{2} \) মিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে অতিভুজ ১৮ এবং কোণ \( 45^\circ \)।
আমরা জানি, \( \sin 45^\circ = \frac{h}{18} \)।
বা, \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{h}{18} \)।
বা, \( h = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2} \)।
উত্তর: দেয়ালের উচ্চতা \( 9\sqrt{2} \) মিটার।
---
৬. কোনো স্থানের উন্নতি কোণ \( 60^\circ \) হলে, লম্ব ও ভূমির মধ্যে সম্পর্ক কী হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) লম্ব > ভূমি
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( 60^\circ \) কোণের ক্ষেত্রে লম্ব বড় হয়।
কারণ, \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732 \)।
ফলে লম্ব ভূমির প্রায় ১.৭৩ গুণ।
কোণ ৪৫ থেকে বড় হলে লম্ব বড় হয়।
উত্তর: লম্ব > ভূমি।
---
৭. একটি গাছের উচ্চতা ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হলে সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 45^\circ \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উচ্চতা (লম্ব) ও ছায়া (ভূমি) সমান।
আমরা জানি, \( \tan \theta = \frac{h}{h} = 1 \)।
যেহেতু \( \tan 45^\circ = 1 \),
তাই উন্নতি কোণ ৪৫ ডিগ্রি হবে।
উত্তর: \( 45^\circ \)।
---
৮. ভূ-তলের সমান্তরাল রেখাকে কী বলা হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) শয়ন রেখা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভূ-তলে অবস্থিত যেকোনো সরলরেখাকে
ভূ-রেখা বা শয়ন রেখা বলা হয়।
এটি ভূমির সমান্তরালে অবস্থান করে।
জ্যামিতিতে একে অনুভূমিক রেখাও বলে।
উত্তর: শয়ন রেখা।
---
৯. সমকোণী ত্রিভুজের কোণ \( 30^\circ \) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) ভূমি > লম্ব
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( 30^\circ \) কোণের ক্ষেত্রে ভূমি বড় হয়।
কারণ, \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \)।
এখানে লম্ব ভূমির চেয়ে ছোট।
কোণ ৪৫ থেকে ছোট হলে ভূমি বড় হয়।
উত্তর: ভূমি > লম্ব।
---
১০. একটি নদীর এক পাড়ে দাঁড়িয়ে অন্য পাড়ের একটি গাছের উন্নতি কোণ \( 30^\circ \) দেখা গেল। নদীটির প্রস্থ ও গাছের উচ্চতার অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \sqrt{3}:1 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি, উচ্চতা \( h \) এবং প্রস্থ \( x \)।
এখানে, \( \tan 30^\circ = \frac{h}{x} \)।
বা, \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h\sqrt{3} \)।
প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত \( \sqrt{3}:1 \)।
উত্তর: \( \sqrt{3}:1 \)।
---
১১. ৬০ মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 30\sqrt{3} \) মিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে কোণটি দেয়ালের সাথে উৎপন্ন।
তাই ভূমির সাথে কোণ \( 90-30 = 60^\circ \)।
\( \sin 60^\circ = \frac{h}{60} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{60} \)।
বা, \( h = 30\sqrt{3} \)।
উত্তর: দেয়ালের উচ্চতা \( 30\sqrt{3} \) মিটার।
---
১২. অবনতি কোণ কোথায় উৎপন্ন হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) ভূমির সমান্তরাল রেখার নিচে
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দৃষ্টিরেখা যখন ভূমির সমান্তরাল রেখার
নিচে কোনো বিন্দুকে নির্দেশ করে,
তখন যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে
অবনতি কোণ বলা হয়।
উত্তর: ভূমির সমান্তরাল রেখার নিচে।
---
১৩. একটি মিনারের পাদদেশ থেকে ২০ মিটার দূরে উন্নতি কোণ \( 60^\circ \) হলে মিনারের উচ্চতা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 20\sqrt{3} \) মিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে ভূমি ২০ এবং কোণ \( 60^\circ \)।
আমরা জানি, \( \tan 60^\circ = \frac{h}{20} \)।
বা, \( \sqrt{3} = \frac{h}{20} \)。
বা, \( h = 20\sqrt{3} \)।
উত্তর: মিনারের উচ্চতা \( 20\sqrt{3} \) মিটার।
---
১৪. কোনো টাওয়ারের পাদবিন্দু থেকে \( x \) মিটার দূরে উন্নতি কোণ \( 45^\circ \) হলে টাওয়ারের উচ্চতা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( x \) মিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উন্নতি কোণ \( 45^\circ \) হলে লম্ব ও ভূমি সমান।
সুতরাং, উচ্চতা \( h = x \)।
যেহেতু \( \tan 45^\circ = 1 \),
তাই লম্ব ও ভূমির মান একই হয়।
উত্তর: \( x \) মিটার।
---
১৫. একটি খুঁটি ভেঙে গিয়ে অবিচ্ছিন্নভাবে ভূমির সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে। ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে দণ্ডায়মান অংশের দৈর্ঘ্য কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 5 \) মিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে অতিভুজ ১০ এবং কোণ \( 30^\circ \)।
দণ্ডায়মান অংশ \( h \) হলে, \( \sin 30^\circ = \frac{h}{10} \)।
বা, \( 1/2 = h/10 \Rightarrow h = 5 \)।
খুঁটির দণ্ডায়মান অংশ ৫ মিটার।
উত্তর: ৫ মিটার।
---
১৬. সূর্যের উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটির ছায়া খুঁটির উচ্চতার \( \sqrt{3} \) গুণ হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 30^\circ \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ছায়া \( = \sqrt{3} \times \) উচ্চতা।
\( \tan \theta = \frac{\text{উচ্চতা}}{\text{ছায়া}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)।
আমরা জানি, \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)।
সুতরাং উন্নতি কোণ ৩০ ডিগ্রি।
উত্তর: \( 30^\circ \)।
১৭. ভূ-তলের কোনো বিন্দুতে একটি টাওয়ারের উন্নতি কোণ \( 30^\circ \)। টাওয়ারের উচ্চতা ২৪ মিটার হলে ওই বিন্দুর দূরত্ব কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 24\sqrt{3} \) মিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উচ্চতা \( h = 24 \) এবং কোণ \( 30^\circ \)।
\( \tan 30^\circ = \frac{24}{x} \)।
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{24}{x} \Rightarrow x = 24\sqrt{3} \)।
উত্তর: দূরত্ব \( 24\sqrt{3} \) মিটার।
১৮. একটি মই দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে আছে। মইটি ভূমির সাথে \( 60^\circ \) কোণ উৎপন্ন করলে এবং দেয়ালের উচ্চতা \( 10\sqrt{3} \) মিটার হলে মইয়ের দৈর্ঘ্য কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 20 \) মিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: লম্ব \( 10\sqrt{3} \) এবং অতিভুজ \( L \)।
\( \sin 60^\circ = \frac{10\sqrt{3}}{L} \)।
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{L} \Rightarrow L = 20 \)।
উত্তর: মইয়ের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার।
---
১৯. সূর্যের উন্নতি কোণ \( 30^\circ \) থেকে \( 45^\circ \) হলে একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্যের কী পরিবর্তন হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) কমবে
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উন্নতি কোণ বাড়লে ছায়া ছোট হয়।
\( 30^\circ \) এর ছায়া \( 45^\circ \) এর চেয়ে বড়।
সূর্য যত উপরে উঠে ছায়া তত কমে।
উত্তর: ছায়ার দৈর্ঘ্য কমবে।
---
২০. একটি খুঁটি ১৮ মিটার লম্বা। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য \( 6\sqrt{3} \) মিটার হলে সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 60^\circ \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: লম্ব ১৮ এবং ভূমি \( 6\sqrt{3} \)।
\( \tan \theta = \frac{18}{6\sqrt{3}} = \sqrt{3} \)।
আমরা জানি, \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)।
উত্তর: উন্নতি কোণ ৬০ ডিগ্রি।
---
২১. একটি নদীর প্রস্থ \( 50\sqrt{3} \) মিটার। এক পাড়ে থাকা গাছের উন্নতি কোণ \( 30^\circ \) হলে গাছের উচ্চতা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 50 \) মিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভূমি \( 50\sqrt{3} \) এবং কোণ \( 30^\circ \)।
\( \tan 30^\circ = \frac{h}{50\sqrt{3}} \)।
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50\sqrt{3}} \Rightarrow h = 50 \)।
উত্তর: গাছের উচ্চতা ৫০ মিটার।
---
২২. \( 45^\circ \) কোণের ক্ষেত্রে লম্ব ও ভূমির মধ্যে সম্পর্ক কী?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) লম্ব = ভূমি
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( \tan 45^\circ = 1 \) হওয়ায় লম্ব = ভূমি।
এটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
লম্ব ও ভূমির অনুপাত ১:১।
উত্তর: লম্ব = ভূমি।
---
২৩. মিনার থেকে কিছু দূরে উন্নতি কোণ \( 30^\circ \)। মিনারের দিকে ২০ মিটার এগিয়ে এলে উন্নতি কোণ \( 60^\circ \) হয়। উচ্চতা \( h \) হলে সঠিক কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( h = \frac{20}{\cot 30^\circ - \cot 60^\circ} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দূরত্ব পরিবর্তনের সূত্র অনুযায়ী:
\( h = \frac{d}{\cot \theta_1 - \cot \theta_2} \)।
এখানে \( d = 20 \) এবং কোণদ্বয় ৩০ ও ৬০।
উত্তর: A বিকল্পটি সঠিক।
---
২৪. একটি সুতা দিয়ে ঘুড়ি ওড়ানো হচ্ছে যার দৈর্ঘ্য ১০০ মিটার। সুতাটি ভূমির সাথে \( 60^\circ \) কোণ করলে ঘুড়িটি কত উঁচুতে আছে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 50\sqrt{3} \) মিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অতিভুজ ১০০ এবং লম্ব \( h \)।
\( \sin 60^\circ = \frac{h}{100} \)।
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{100} \Rightarrow h = 50\sqrt{3} \)।
উত্তর: উচ্চতা \( 50\sqrt{3} \) মিটার।
---
২৫. অবনতি কোণ ও উন্নতি কোণের মধ্যে সম্পর্ক কী?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) সমান
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: একান্তর কোণ হিসেবে এরা পরস্পর সমান।
ভূ-রেখা ও সমান্তরাল রেখা সমান থাকে।
দৃষ্টিরেখা তাদের ছেদক হিসেবে কাজ করে।
উত্তর: সমান।
---