১. আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৪ একক এবং ক্ষেত্রফল ২৪ বর্গ একক হলে-
i. দৈর্ঘ্য ৬ একক
ii. কর্ণ $ 2\sqrt{13} $ একক
iii. পরিসীমা ২০ একক
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দৈর্ঘ্য = $ \frac{24}{4} = 6 $। কর্ণ = $ \sqrt{6^2+4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $। পরিসীমা = $ 2(6+4) = 20 $। তিনটাই সঠিক।
২. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬০০ বর্গমিটার হলে, দৈর্ঘ্য $ x $ ও প্রস্থ $ y $ এর জন্য নিচের কোন সমীকরণটি সত্য?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ xy = 600 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $ \times $ প্রস্থ। তাই, $ xy = 600 $।
৩. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা ১০ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬০০ বর্গমিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 40 মি.
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রস্থ $ y $ হলে দৈর্ঘ্য $ x = 2y + 10 $। $ y(2y+10)=600 \Rightarrow y^2+5y-300=0 \Rightarrow y=15 $। তাই $ x = 2(15)+10 = 40 $। (প্রদত্ত প্রশ্নে অপশনে ভুল ছিল, সঠিক উত্তর ৪০ মি.)।
৪. একটি আয়তাকার বাগানের পরিসীমা ৫৬ মিটার এবং একটি কর্ণ ২০ মিটার। বাগানটির ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 192 বর্গমিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ 2(x+y)=56 \Rightarrow x+y=28 $। কর্ণ $ x^2+y^2=20^2=400 $। $ (x+y)^2-2xy=400 \Rightarrow 784-2xy=400 \Rightarrow 2xy=384 \Rightarrow xy=192 $।
৫. দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১১ এবং গুণফল ৩০। সংখ্যা দুইটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) 6 ও 5
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ x^2-y^2=11 $, $ xy=30 $। অপশন টেস্ট করলে $ 6^2-5^2 = 36-25 = 11 $ এবং $ 6 \times 5 = 30 $।
৬. একটি আয়তাকার বাগানের পরিসীমা ৭০ মিটার ও একটি কর্ণ ২৫ মিটার হলে, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত মিটার?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 20 মি. ও 15 মি.
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ 2(x+y)=70 \Rightarrow x+y=35 $। কর্ণ $ \sqrt{x^2+y^2}=25 \Rightarrow x^2+y^2=625 $। অপশন টেস্ট করলে, $ 20^2+15^2 = 400+225=625 $ এবং $ 20+15=35 $।
৭. দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ৪১, সংখ্যা দুইটির গুণফল ২০; সংখ্যা দুইটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 4 ও 5
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ x^2+y^2=41 $ এবং $ xy=20 $। অপশন টেস্ট করলে, $ 4^2+5^2=16+25=41 $ এবং $ 4 \times 5 = 20 $।
৮. দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ৩৩৭। সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর ১৭৫। সংখ্যা দুইটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 9 ও 16
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ x^2+y^2=337 $, $ x^2-y^2=175 $। যোগ করলে $ 2x^2=512 \Rightarrow x^2=256 \Rightarrow x=16 $। বিয়োগ করলে $ 2y^2=162 \Rightarrow y^2=81 \Rightarrow y=9 $।
৯. আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য পরিমাপের সূত্র কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $ \sqrt{x^2 + y^2} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = $ \sqrt{\text{দৈর্ঘ্য}^2 + \text{প্রস্থ}^2} $।
১০. একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৫ মি., আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ $ x $ ও $ y $ মি. হলে $ x^2 + y^2 $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 25
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কর্ণ = $ \sqrt{x^2+y^2} = 5 $, তাই বর্গ করলে $ x^2+y^2 = 25 $।
১১. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪ মি. ও প্রস্থ ৩ মি. হলে এর একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) 5
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কর্ণ = $ \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 $ মি.।
১২. বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মি. হলে ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 36 বর্গ মি.
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $ \text{বাহু}^2 = 6^2 = 36 $ বর্গ মি.। (প্রদত্ত প্রশ্নে অপশন ভুল ছিল, তবে গাণিতিকভাবে সঠিক উত্তর ৩৬)।
১৩. একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্ক $ y $ এর ৩ গুণ হলে সংখ্যাটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ 13y $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দশক স্থানীয় অঙ্ক $ y $, একক স্থানীয় অঙ্ক $ 3y $। সংখ্যাটি = $ 10 \times y + 3y = 13y $।
১৪. দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ১১৩ এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল ৫৬ হলে সংখ্যা দুইটির সমষ্টির বর্গ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 225
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 113 + 2(56) = 113 + 112 = 225 $।
১৫. একটি আয়তাকার বাগানের পরিসীমা ৭০ মিটার এবং একটি কর্ণ ২৫ মি. হলে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত মিটার?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 20 মি. ও 15 মি.
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: পরিসীমা হতে $ x+y=35 $। কর্ণ হতে $ x^2+y^2=625 $। সমাধান করলে $ x=20, y=15 $ পাওয়া যায়।
১৬. দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৩ এবং গুণফল ৪২; সংখ্যা দুইটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 7, 6
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ x^2-y^2=13 $, $ xy=42 $। অপশন টেস্ট করলে $ 7^2-6^2 = 49-36=13 $ এবং $ 7 \times 6 = 42 $।
১৭. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $ x $ মিটার এবং প্রস্থ দৈর্ঘ্যের এক-তৃতীয়াংশ। যদি আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ১৪৫ বর্গমিটার হয় তবে নিচের কোনটি সত্য?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ x^2 = 435 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রস্থ = $ \frac{x}{3} $। ক্ষেত্রফল = $ x \times \frac{x}{3} = 145 \Rightarrow \frac{x^2}{3} = 145 \Rightarrow x^2 = 435 $।
১৮. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ১২। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ হয়। সংখ্যাটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 102
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দশক স্থানীয় অঙ্ক $ x $, একক স্থানীয় $ 12-x $। মূল সংখ্যা $ 10x + 12-x = 9x+12 $। স্থান বিনিময় করলে সংখ্যা $ 10(12-x)+x = 120-9x $। শর্তানুযায়ী $ 120-9x = 3x \Rightarrow 12x=120 \Rightarrow x=10 $। মূল সংখ্যা $ 9(10)+12=102 $।
১৯. একটি বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য একটি আয়তাকার বাগানের কর্ণের সমান। আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে $ x $ ও $ y $ হলে, বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ x^2 + y^2 $ বর্গ একক
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আয়তাকার বাগানের কর্ণ = $ \sqrt{x^2+y^2} $। এটি বর্গাকার বাগানের বাহু। তাই বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = $ (\sqrt{x^2+y^2})^2 = x^2+y^2 $।
২০. একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্ক $ x $ এর $ \frac{1}{2} $ গুণ। সংখ্যাটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $ \frac{21x}{2} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দশক স্থানীয় অঙ্ক $ x $, একক স্থানীয় অঙ্ক $ \frac{x}{2} $। সংখ্যাটি = $ 10x + \frac{x}{2} = \frac{20x+x}{2} = \frac{21x}{2} $।
২১. একটি বাগানের ক্ষেত্রফল ৩২৪ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত মিটার? (বাগানটি বর্গাকার ধরে)
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 72
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বর্গাকার বাগানের বাহুর দৈর্ঘ্য $ \sqrt{324} = 18 $। পরিসীমা = $ 4 \times 18 = 72 $ মিটার।
২২. একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য $ x $ এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য $ y $ হলে $ (y - x) = $ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ (\sqrt{2} - 1)x $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $ y = \sqrt{2}x $। তাই $ y - x = \sqrt{2}x - x = (\sqrt{2} - 1)x $। (প্রদত্ত প্রশ্নে অপশনে ভুল ছিল, এটিই সঠিক রূপ)।
২৩. একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্ক $ x $ এর দ্বিগুণ হলে সংখ্যাটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ 12x $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দশক স্থানীয় অঙ্ক $ x $, একক স্থানীয় অঙ্ক $ 2x $। সংখ্যাটি = $ 10x + 2x = 12x $।
২৪. বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ একক হলে-
i. কর্ণের দৈর্ঘ্য $ 6\sqrt{2} $ একক
ii. ক্ষেত্রফল 36 একক
iii. পরিসীমা 24 একক
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কর্ণ = $ 6\sqrt{2} $। পরিসীমা = $ 4 \times 6 = 24 $। ক্ষেত্রফল হবে ৩৬ বর্গ একক। তাই i ও iii সঠিক।
২৫. দুইটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ১৩ হলে-
i. সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে ২ ও ৩
ii. সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল ৫
iii. সংখ্যাদ্বয় অমূলদ সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) i ও ii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ 2^2+3^2 = 4+9 = 13 $। ২ ও ৩ পূর্ণসংখ্যা, অমূলদ নয়। তাই i ও ii সঠিক।