১. $(x^3 + \frac{1}{x})^15$ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) ${^{15}C_{r}} x^{45-4r}$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সাধারণ পদ ${^{15}C_{r}} (x^3)^{15-r} (x^{-1})^r = {^{15}C_{r}} x^{45-3r-r} = {^{15}C_{r}} x^{45-4r}$ ।
২. $ 0! $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সংজ্ঞানুসারে শূন্য এর ফ্যাক্টরিয়াল এর মান 1 ধরা হয়।
৩. $ \binom{n}{0} $ এর মান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেকোনো $ n $ এর জন্য $ \binom{n}{0} $ এর মান সর্বদা 1 হয়।
৪. $ \binom{n}{n} $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ n $ সংখ্যক বস্তু থেকে $ n $ টি বস্তু নিয়ে দল গঠনের উপায় 1টি।
৫. $ \binom{n}{1} $ এর মান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) n
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূত্রানুযায়ী $ \binom{n}{1} = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n $।
৬. $ 5! $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 120
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $।
৭. $ \binom{5}{2} $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 10
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $।
৮. দ্বিপদী উপপাদ্যে $ \binom{n}{r} $ কে কী বলা হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) দ্বিপদী সহগ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ \binom{n}{r} $ হলো দ্বিপদী বিস্তৃতির পদগুলোর সাংখ্যিক সহগ।
৯. $ (1+y)^n $ এর বিস্তৃতিতে $ (r+1) $ তম পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ \binom{n}{r} y^r $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সাধারণ পদের সূত্রানুযায়ী $ T_{r+1} = \binom{n}{r} y^r $।
১০. $ (1+x)^n $ বিস্তৃতিতে $ x^r $ এর সহগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \binom{n}{r} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ (1+x)^n $ এর বিস্তৃতিতে $ (r+1) $ তম পদে $ x^r $ থাকে, যার সহগ $ \binom{n}{r} $।
১১. $ \binom{n}{r} $ এর মান নিচের কোনটির সমান?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ \binom{n}{n-r} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সম্পূরক সমাবেশের সূত্রানুযায়ী $ \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} $।
১২. $ (a+x)^n $ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ n+1 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ঘাত $ n $ হলে বিস্তৃতিতে মোট পদের সংখ্যা হয় $ n+1 $।
১৩. $ (1-x)^6 $ এর বিস্তৃতিতে 3rd পদের মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ 15x^2 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: 3rd পদ হলো $ \binom{6}{2} (-x)^2 = 15x^2 $।
১৪. $ (1+2x)^4 $ এর বিস্তৃতিতে 2nd পদের সহগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 8
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: 2nd পদ = $ \binom{4}{1} (2x)^1 = 8x $, তাই সহগ 8।
১৫. $ (1+y)^n $ এর বিস্তৃতিতে প্রথম পদের মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বিস্তৃতির প্রথম পদ $ \binom{n}{0} y^0 = 1 $।
১৬. $ \binom{6}{4} $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 15
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ \binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15 $।
১৭. $ \binom{n}{r} $ নির্ণয়ের ভগ্নাংশ সূত্র কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \frac{n!}{r!(n-r)!} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূত্রানুযায়ী $ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} $।
১৮. $ (x+y)^n $ বিস্তৃতির $ (r+1) $ তম পদে $ x $ এর সূচক কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ n-r $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সাধারণ পদ $ T_{r+1} = \binom{n}{r} x^{n-r} y^r $, তাই $ x $ এর সূচক $ n-r $।
১৯. $ (x+y)^n $ বিস্তৃতির $ (r+1) $ তম পদে $ y $ এর সূচক কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ r $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সাধারণ পদ $ T_{r+1} = \binom{n}{r} x^{n-r} y^r $, তাই $ y $ এর সূচক $ r $।
২০. $ (1-y)^5 $ এর বিস্তৃতিতে $ y^3 $ এর সহগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) -10
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ y^3 $ যুক্ত পদটি হলো $ \binom{5}{3} (-y)^3 = -10y^3 $।
২১. $ \frac{10!}{8!} $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 90
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ \frac{10!}{8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8!} = 90 $।
২২. $ (2+x)^4 $ এর বিস্তৃতিতে $ x^2 $ এর সহগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 24
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: 3rd পদ $ \binom{4}{2} 2^2 x^2 = 6 \times 4 x^2 = 24x^2 $।
২৩. $ \binom{7}{0} + \binom{7}{1} $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 8
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ \binom{7}{0} = 1 $ এবং $ \binom{7}{1} = 7 $। যোগফল 8।
২৪. $ (1+3x)^3 $ বিস্তৃতিতে 3rd পদটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ 27x^2 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: 3rd পদ = $ \binom{3}{2} (3x)^2 = 3 \times 9x^2 = 27x^2 $।
২৫. দ্বিপদী বিস্তৃতিতে পরপর দুটি পদের সহগ সমান হলে, $ \binom{n}{r} $ এবং কার মান সমান?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $ \binom{n}{n-r} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} $ সূত্রানুযায়ী সমদূরবর্তী পদের সহগ সমান।