১. \(x^2 + ax + 6\) এবং \(x^2 + bx + 4\) উভয়েই \((x - 2)\) দ্বারা বিভাজ্য হলে \(a-b\) কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) -1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(4 + 2a + 6 = 0 \Rightarrow a = -5\)
\(4 + 2b + 4 = 0 \Rightarrow b = -4\)
\(\therefore a - b = -5 - (-4) = -1\)
২. যদি \(f(x)\) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় তবে কোন শর্তে \(f(x)\) কে \((ax + b)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় \(f(-\frac{b}{a})\)?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(a \neq 0\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, ভাজক \((ax + b)\) এর জন্য \(ax + b = 0\) হলে \(x = -\frac{b}{a}\)। যেহেতু এখানে \(a\) দ্বারা ভাগ করা হচ্ছে, তাই গণিতের নিয়ম অনুযায়ী \(a\) এর মান অবশ্যই অশুন্য বা \(a \neq 0\) হতে হবে।
---
৩. \(a^3 - 3ab^2 + 2b^3\) এর উৎপাদক হলো—
i. \(a - b\)
ii. \(a + 2b\)
iii. \(a^2 + ab + 2b^2\)
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) i ও ii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে \(a = b\) বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই \((a - b)\) একটি উৎপাদক। আবার রাশিটিকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়:
\(a^3 - ab^2 - 2ab^2 + 2b^3\)
\(= a(a^2 - b^2) - 2b^2(a - b)\)
\(= (a - b)(a^2 + ab - 2b^2)\)
\(= (a - b)(a - b)(a + 2b)\)
সুদরাং (i) ও (ii) সঠিক।
---
৪. \(f(x) = 6x^2 - x - 1\) এর জন্য—
i. \(f(\frac{1}{2}) = 0\)
ii. \(f(0) = 1\)
iii. \((3x + 1)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(f(\frac{1}{2}) = 6(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 0\)। (i) সঠিক।
আবার, \(6x^2 - 3x + 2x - 1 = 3x(2x - 1) + 1(2x - 1) = (2x - 1)(3x + 1)\)। (iii) সঠিক।
---
৫. ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী \(f(x)\) কে \((x - a)\) আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্র কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) ভাগশেষ উপপাদ্য
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) আমাদের শেখায় যে, কোনো বহুপদী \(f(x)\) কে \((x - a)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে সর্বদা \(f(a)\)।
---
৬. কোনো বহুপদী \(f(x)\), \((x - a)\) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি \(f(a) = 0\) হয়, এই সূত্রটি কী নামে পরিচিত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) উৎপাদক উপপাদ্য
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: একে উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) বলা হয়। এটি ভাগশেষ উপপাদ্যের একটি বিশেষ রূপ যেখানে ভাগশেষ শূন্য হয়।
---
৭. যদি \(f(x)\) এর মাত্রা ধনাত্মক এবং \(a \neq 0\) হয়, তবে \(f(x)\) কে \((ax + b)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(f(-\frac{b}{a})\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভাজক \(ax + b = 0\) হলে \(x = -\frac{b}{a}\)। সুতরাং ভাগশেষ হবে \(f(-\frac{b}{a})\)।
---
৮. \(f(x)\) কে \((x - a)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(f(a)\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি ভাগশেষ উপপাদ্যের সরাসরি প্রয়োগ। \((x - a)\) ভাজক হলে \(x = a\) বসালে ভাগশেষ পাওয়া যায়।
---
৯. কোন শর্ত সাপেক্ষে \(f(x)\), \((x - a)\) দ্বারা বিভাজ্য হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(f(a) = 0\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বিভাজ্য হওয়ার অর্থ হলো ভাগশেষ শূন্য হওয়া। উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী \(f(a) = 0\) হলেই রাশিটি বিভাজ্য হবে।
---
১০. কোন শর্ত সাপেক্ষে \((ax + b)\) রাশিটি \(f(x)\) এর উৎপাদক হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(f(-\frac{b}{a}) = 0\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উৎপাদক হওয়ার শর্ত হলো ভাগশেষ শূন্য হওয়া। যেহেতু ভাজক \(ax + b\), তাই \(x = -\frac{b}{a}\) বিন্দুতে ফাংশনের মান শূন্য হতে হবে।
---
১১. ভাজক বহুপদী যদি ভাজ্য বহুপদীর একটি উৎপাদক হয়, তবে ভাগশেষ নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) 0
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যদি কোনো রাশি অপর একটি রাশির উৎপাদক হয়, তবে সেই রাশি দ্বারা ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না, অর্থাৎ ভাগশেষ ০ হয়।
---
১২. \(x\) এর মান কত হলে, \(x^3 + 4x^2 + x - 6\) এর মান শূন্য হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: চলক \(x = 1\) বসিয়ে পাই:
\(1^3 + 4(1)^2 + 1 - 6\)
\(= 1 + 4 + 1 - 6\)
\(= 0\)
---
১৩. \(x\) এর মান কত হলে, \(6x^2 - 7x + 1\) এর মান শূন্য হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: চলক \(x = 1\) বসিয়ে পাই:
\(6(1)^2 - 7(1) + 1\)
\(= 6 - 7 + 1\)
\(= 0\)
---
১৪. \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক \((3x + 2)\) হলে নিচের কোনটির মান শূন্য হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \(f(-\frac{2}{3})\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উৎপাদক \(3x + 2 = 0\) হলে \(x = -\frac{2}{3}\)। সুতরাং \(f(-\frac{2}{3}) = 0\) হবে।
---
১৫. \(m\) এর মান কত হলে, \(4m^3 - 5m^2 + 5m - 1\) এর মান শূন্য হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \(\frac{1}{4}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: চলক \(m = \frac{1}{4}\) বসিয়ে পাই:
\(4(\frac{1}{64}) - 5(\frac{1}{16}) + \frac{5}{4} - 1\)
\(= \frac{1}{16} - \frac{5}{16} + \frac{20}{16} - \frac{16}{16}\)
\(= 0\)
---
১৬. \(f(x) = x^3 - x - k\) এবং \(f(2) = 0\) হলে, \(k\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 6
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, \(f(2) = 0\)
বা, \(2^3 - 2 - k = 0\)
বা, \(8 - 2 = k\)
\(\therefore k = 6\)
---
১৭. \(f(x) = 54x^4 + 27x^3a - 16x - 8a\) এবং \(f(-\frac{a}{2}) = 0\) হলে, \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(2x + a\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেহেতু \(x = -\frac{a}{2}\) বসালে মান শূন্য হয়, তাই \(2x = -a\) বা \((2x + a)\) একটি উৎপাদক।
---
১৮. \(k\) এর মান কত হলে, \(k^3 - k - 6\) এর মান শূন্য হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 2
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: চলক \(k = 2\) বসিয়ে পাই:
\(2^3 - 2 - 6\)
\(= 8 - 8\)
\(= 0\)
---
১৯. নিচের কোনটি \(ay + a - y^2 - 2y - 1\) এর উৎপাদক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \((a - y - 1)\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: রাশিটিকে সাজিয়ে পাই:
\(a(y + 1) - (y^2 + 2y + 1)\)
\(= a(y + 1) - (y + 1)^2\)
\(= (y + 1)(a - y - 1)\)
---
২০. \(f(a) = a^3 - 3a^2b + 2b^3\) এবং \(a = b\) বসালে \(f(a) = 0\) হয়। রাশিটির একটি উৎপাদক কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(a - b\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো রাশিতে চলকের মান \(b\) বসালে যদি ফলাফল শূন্য হয়, তবে \((চলক - b)\) একটি উৎপাদক। এখানে চলক \(a\), তাই উৎপাদক \((a - b)\)।
---
২১. \(80a^6 - 5\) এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(4a^3 + 1\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(5(16a^6 - 1)\)
\(= 5\{(4a^3)^2 - 1^2\}\)
\(= 5(4a^3 + 1)(4a^3 - 1)\)
---
২২. নিচের কোনটি \(4x^2 + 5x - 6\) এর একটি উৎপাদক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \((x + 2)\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মিডল টার্ম করে পাই:
\(4x^2 + 8x - 3x - 6\)
\(= 4x(x + 2) - 3(x + 2)\)
\(= (x + 2)(4x - 3)\)
---
২৩. \(f(x)\) কে \((ax + b)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ \(f(-\frac{b}{a})\) হবে যদি—
i. \(f(x)\) এর মাত্রা ঋণাত্মক হয়
ii. \(f(x)\) এর মাত্রা ধনাত্মক হয়
iii. \(a \neq 0\) হয়
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভাগশেষ উপপাদ্য কেবল ধনাত্মক মাত্রার বহুপদীর জন্য কার্যকর এবং ভাজকের চলকের সহগ \(a\) অবশ্যই অশুন্য হতে হবে।
---
২৪. \(f(a) = a^3 + 3a + 36\) এবং \((a + 3)\), \(f(a)\) এর একটি উৎপাদক হলে—
i. \(f(-3) = 0\) হবে
ii. \((a - 4)\), \(f(a)\) এর একটি উৎপাদক হবে
iii. \((a^2 - 3a + 12)\), \(f(a)\) এর একটি উৎপাদক হবে
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেহেতু \((a + 3)\) উৎপাদক, তাই \(f(-3) = 0\) গাণিতিকভাবে সত্য। আবার \(a^3 + 3a + 36\) কে ভাগ করলে পাওয়া যায় \((a + 3)(a^2 - 3a + 12)\)। সুতরাং (i) ও (iii) সঠিক।
---
২৫. \(f(x) = x^3 - x - 6\) হলে—
i. \(f(1) = 0\)
ii. \(f(2) = 0\)
iii. \((x - 2)\), \(f(x)\) এর একটি উৎপাদক
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(f(1) = 1 - 1 - 6 = -6 \neq 0\)। (i) ভুল।
\(f(2) = 8 - 2 - 6 = 0\)। (ii) সঠিক।
যেহেতু \(f(2) = 0\), তাই উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী \((x - 2)\) একটি উৎপাদক। (iii) সঠিক।
---