১. \(x^{-1} + y^{-1} = z^{-1}\) হলে \(z = ?\)
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(\frac{xy}{x+y}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{z} \Rightarrow z = \frac{xy}{x+y}\).
---
২. \( (x - 1)^2 = 9 \) সমীকরণটির মূল কয়টি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। \( (x-1)^2 = 9 \Rightarrow x-1 = \pm 3 \)। সুতরাং \( x \) এর দুটি মান পাওয়া যায়। চলকের সর্বোচ্চ ঘাত যত, মূল সংখ্যাও তত।
---
৩. \( x - 3 = \frac{x-3}{x-3} \) হলে \( x \) এর মান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \( 4 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( x - 3 = 1 \) (যেখানে \( x \neq 3 \)) \( \Rightarrow x = 4 \)। (সংশোধিত উত্তর ৪ হবে, কারণ হরে শূন্য হতে পারে না)।
---
৪. \( x^2 - x - 12 = 0 \) সমীকরণের—
i. একটি চলক \( x \)
ii. ঘাত \( 2 \)
iii. \( x \) এর বীজ \( (-4, 3) \)
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) i ও ii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণটির চলক \( x \) এবং সর্বোচ্চ ঘাত ২। কিন্তু সমাধান করলে \( x^2 - 4x + 3x - 12 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+3) = 0 \)। অর্থাৎ বীজগুলো হলো \( 4, -3 \)। তাই iii সঠিক নয়।
---
৫. \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \( 3, 2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( x^2 - 3x - 2x + 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 3, 2 \)।
---
৬. \( y(y - 4) = 0 \) সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \{0, 4\} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( y = 0 \) অথবা \( y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4 \)। সুতরাং সেটটি \( \{0, 4\} \)।
---
৭. \( (y - 3)^2 = 0 \) সমীকরণটির মূল কয়টি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (\( y^2 - 6y + 9 = 0 \))। এর মূল দুটি এবং মূল দুটিই ৩।
---
৮. \( ax^2 + bx + c = 0 \) সমীকরণটির সাধারণ গঠন নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( ax^2 + bx + c = 0 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ।
---
৯. \( x(x - 1) = 12 \) সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( x^2 - x = 12 \)। এখানে চলক \( x \) এর সর্বোচ্চ পাওয়ার বা ঘাত হলো ২।
---
১০. \( (2x - 1)^2 = 0 \) সমীকরণটি \( ax^2 + bx + c = 0 \) এর সাথে তুলনা করলে \( a \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 4 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( (2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 = 0 \)। এখানে \( x^2 \) এর সহগ \( a = 4 \)।
---
১১. \( x^2 - 1 = 0 \) কে \( ax^2 + bx + c = 0 \) এর সাথে তুলনা করলে \( b = ? \)
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 0 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণটিকে \( 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 1 = 0 \) আকারে লেখা যায়। সুতরাং \( x \) এর সহগ \( b = 0 \)।
---
১২. \( \frac{x-4}{x} = x - 4 \) সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \{1, 4\} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( x-4 = x(x-4) \Rightarrow x(x-4) - (x-4) = 0 \Rightarrow (x-4)(x-1) = 0 \)। সুতরাং \( x = 4, 1 \)।
---
১৩. \( 2x^2 - 4ax = 0 \) সমীকরণে \( x \) এর মান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \( 0, 2a \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( 2x(x - 2a) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \) বা \( x - 2a = 0 \)। অতএব \( x = 0, 2a \)।
---
১৪. নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর:
i. দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষ একটি দ্বিমাত্রিক বহুপদী
ii. যে সমীকরণের সর্বোচ্চ ঘাত ২ তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে
iii. \( ax + by + c = 0 \) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) i ও ii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( ax + by + c = 0 \) একটি একঘাত সমীকরণ। তাই iii সঠিক নয়।
---
১৫. \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) সমীকরণের—
i. একটি মূল \( 2 \)
ii. মূল ৩টি
iii. অপর মূল \( 3 \)
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণটি সমাধান করলে \( x = 2, 3 \) পাওয়া যায়। যেহেতু এটি দ্বিঘাত সমীকরণ, তাই এর মূল ২টির বেশি হতে পারে না।
---
১৬. \( x^2 + x - 240 = 0 \) সমীকরণটি—
i. সমাধান করতে বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়
ii. দুই চলক বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
iii. দুইটি মূল আছে
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি একটি এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ। ঘাত ২ হওয়ায় এর মূল সংখ্যা ২। এটি মিডল টার্ম বা উৎপাদকের মাধ্যমে সমাধান করা যায়।
---
১৭. বর্গাকার একটি ক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য \(x\) সে. মি. ও ক্ষেত্রফল \(64\) বর্গ সে. মি. হলে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(x^2 = 64\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(= (\text{বাহু})^2\)। বাহু \(x\) হলে ক্ষেত্রফল \(x^2\)। প্রশ্নমতে, \(x^2 = 64\)।
---
১৮. দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি \(21\) এবং তাদের গুণফল \(108\) হলে বৃহত্তর সংখ্যাটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \(12\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি সংখ্যা দুটি \(x\) ও \(y\)। \(x+y = 21\) এবং \(xy = 108\)। সংখ্যা দুটি হলো \(12\) ও \(9\)। এদের মধ্যে বৃহত্তরটি \(12\)।
---
১৯. দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর \(9\) হলে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(4\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি সংখ্যা দুটি \(x\) ও \(x+1\)। প্রশ্নমতে, \((x+1)^2 - x^2 = 9 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 - x^2 = 9 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\)।
---
২০. \(5\) মিটার দৈর্ঘ্যের বর্গাকার বাগানের ভেতরে \(1\) মি. চওড়া রাস্তা থাকলে রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(9\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: রাস্তা বাদে বাগানের বাহুর দৈর্ঘ্য \(= 5 - (2 \times 1) = 3\) মিটার। \(\therefore\) ক্ষেত্রফল \(= (3)^2 = 9\) বর্গমিটার।
---
২১. আয়তাকার একটি ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(x\) মি. এবং প্রস্থ, দৈর্ঘ্য অপেক্ষা \(10\) মি. কম। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \(144\) বর্গমিটার হলে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(x(x - 10) = 144\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দৈর্ঘ্য \(= x\), প্রস্থ \(= x - 10\)। ক্ষেত্রফল \(= \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = x(x - 10)\)। প্রশ্নমতে, \(x(x - 10) = 144\)।
---
২২. একটি ত্রিভুজের ভূমি \(2x\) মি. ও উচ্চতা \((x + 1)\) মি. এবং ক্ষেত্রফল \(25\) বর্গ মি. হলে এর দ্বারা গঠিত সমীকরণটি কত হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(x(x + 1) = 25\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times 2x \times (x + 1) = x(x + 1)\)। প্রশ্নমতে, \(x(x + 1) = 25\)।
---
২৩. একটি সমকোণী ত্রিভুজের উচ্চতা ভূমির দুই-তৃতীয়াংশ এবং ওই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(27\) বর্গ একক। ভূমির দৈর্ঘ্য কত একক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(9\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভূমি \(x\) হলে উচ্চতা \(\frac{2x}{3}\)। ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2} \times x \times \frac{2x}{3} = \frac{x^2}{3}\)। প্রশ্নমতে, \(\frac{x^2}{3} = 27 \Rightarrow x^2 = 81 \Rightarrow x = 9\)। (দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না)।
---
২৪. একটি শ্রেণিতে যদি \(x\) জন ছাত্র তাদের সংখ্যার সমান চাঁদা দেওয়ায় মোট \(400\) টাকা উঠে, তাহলে \(x\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(20\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মোট চাঁদা \(= \text{ছাত্র সংখ্যা} \times \text{জনপ্রতি চাঁদা} = x \times x = x^2\)। প্রশ্নমতে, \(x^2 = 400 \Rightarrow x = 20\)।
---
২৫. নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর:
i. আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(a\) এবং প্রস্থ \(b\) হলে পরিসীমা \(= 2(a + b)\)
ii. সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব \(a\), ভূমি \(b\) এবং অতিভুজ \(c\) হলে \(a^2 + b^2 = c^2\)
iii. বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) একক হলে সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে তিনটি তথ্যই জ্যামিতিক সূত্র অনুযায়ী সঠিক। (উদ্দীপক অনুযায়ী i ও ii সঠিক বলা হলেও iii নং তথ্যটিও গাণিতিকভাবে নির্ভুল)।