১. \( \pi \) (পাই) এর আদর্শ মান কত ধরা হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 3.1416
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গাণিতিক হিসাবের সুবিধার্থে পাই এর আসন্ন মান 3.1416 ধরা হয়.
---
২. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( 1 \) একক বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল \( 22 \) বর্গ একক বৃদ্ধি পায়। বৃত্তটির আদি ব্যাসার্ধ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 3 \) একক
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি আদি ব্যাসার্ধ \( r \), তাহলে \( \pi(r+1)^{2} - \pi r^{2} = 22 \)।
সরল করলে \( 2r+1 = \frac{22}{\pi} \approx 7 \) পাওয়া যায়।
সুতরাং \( 2r = 6 \) বা আদি ব্যাসার্ধ \( r = 3 \) একক।
---
৩. একটি চাকা \( 1.76 \) কিমি পথ যেতে \( 400 \) বার ঘোরে। চাকাটির ব্যাস কত সে.মি.?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 140 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: চাকাটির পরিধি \( = \frac{1760}{400} = 4.4 \) মিটার।
আমরা জানি \( \pi d = 4.4 \), তাই ব্যাস \( d = \frac{4.4}{\pi} \approx 1.4 \) মিটার।
মিটারকে সে.মি. এ নিলে চাকাটির ব্যাস হয় \( 1.4 \times 100 = 140 \) সে.মি.।
---
৪. বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( 20\% \) বৃদ্ধি করলে পরিধি ও ক্ষেত্রফলের অনুপাতের শতকরা পরিবর্তন কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 16.67\% \) কমবে
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: পরিধি ও ক্ষেত্রফলের অনুপাত \( = \frac{2\pi r}{\pi r^{2}} = \frac{2}{r} \)।
নতুন ব্যাসার্ধ \( 1.2r \) হলে নতুন অনুপাত \( \frac{2}{1.2r} \), যা আদি অনুপাতের \( \frac{1}{1.2} \) অংশ।
শতকরা পরিবর্তন \( = (1 - \frac{1}{1.2}) \times 100 \approx 16.67\% \) হ্রাস।
---
৫. \( 10 \) সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের একটি জ্যা কেন্দ্রে \( 90^{\circ} \) কোণ উৎপন্ন করলে ক্ষুদ্রতম বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 28.54 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \( = \frac{90}{360} \times \pi \times 10^{2} \approx 78.54 \) বর্গ সে.মি.।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50 \) বর্গ সে.মি.।
বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল \( = 78.54 - 50 = 28.54 \) বর্গ সে.মি.।
---
৬. একটি সুষম বহুভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ \( 10 \) সে.মি.। এটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের \( 95\% \) হলে বাহুর সংখ্যা কত হতে পারে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 12 \) টি
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} n R^{2} \sin(\frac{360}{n}) \)।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \( 100\pi \approx 314.16 \), যার \( 95\% \) হলো \( 298.45 \)।
অপশন থেকে \( n = 12 \) বসালে মানটি সবচেয়ে কাছাকাছি আসে।
---
৭. একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য \( k \) হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{k^{2}\pi}{4(\pi-1)^{2}} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে \( 2\pi r - 2r = k \), ফলে ব্যাসার্ধ \( r = \frac{k}{2(\pi-1)} \)।
এখন ক্ষেত্রফল \( = \pi r^{2} = \pi \{ \frac{k}{2(\pi-1)} \}^{2} \)।
সরল করলে চূড়ান্ত মান পাওয়া যায় \( \frac{k^{2}\pi}{4(\pi-1)^{2}} \)।
---
৮. \( a \) বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গের অন্তবৃত্ত ও পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 1 : 2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ \( \frac{a}{2} \) এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ বর্গের কর্ণের অর্ধেক বা \( \frac{a}{\sqrt{2}} \)।
ক্ষেত্রফলের অনুপাত \( = \pi(\frac{a}{2})^{2} : \pi(\frac{a}{\sqrt{2}})^{2} \)।
সরল করলে অনুপাতটি দাঁড়ায় \( \frac{1}{4} : \frac{1}{2} = 1 : 2 \)।
---
৯. একটি বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য তার ব্যাসার্ধের সমান হলে কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 1 \) রেডিয়ান
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আমরা জানি চাপের দৈর্ঘ্য \( s = r\theta \), যেখানে \( \theta \) রেডিয়ান এককে থাকে।
প্রশ্নমতে \( s = r \), তাই সমীকরণটি হয় \( r = r\theta \)।
উভয় পক্ষ থেকে \( r \) বাদ দিলে আমরা পাই \( \theta = 1 \) রেডিয়ান।
---
১০. বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \) থেকে \( r+h \) করলে ক্ষেত্রফল \( A \) থেকে \( 4A \) হয়। \( h \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( r \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল \( 4 \) গুণ হওয়া মানে ব্যাসার্ধ \( 2 \) গুণ হওয়া, কারণ ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক।
সুতরাং নতুন ব্যাসার্ধ \( r+h = 2r \) হতে হবে।
সমীকরণটি সমাধান করলে আমরা পাই \( h = r \)।
---
১১. \( 14 \) সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গের চার কোণ থেকে \( 7 \) সে.মি. ব্যাসার্ধের চারটি বৃত্তকলা কাটলে অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 42 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বর্গের ক্ষেত্রফল \( 14 \times 14 = 196 \) এবং চারটি বৃত্তকলা মিলে একটি পূর্ণ বৃত্ত হয়।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল \( = \pi \times 7^{2} \approx 154 \) বর্গ সে.মি.।
অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল \( = 196 - 154 = 42 \) বর্গ সে.মি.।
---
১২. বৃত্তের ক্ষেত্রফল \( 100\% \) বৃদ্ধি করতে হলে ব্যাসার্ধ কত শতাংশ বৃদ্ধি করতে হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 41.42\% \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হলে নতুন ব্যাসার্ধ হতে হবে আদি ব্যাসার্ধের \( \sqrt{2} \) গুণ।
\( \sqrt{2} \) এর মান প্রায় \( 1.4142 \), অর্থাৎ ব্যাসার্ধ \( 0.4142 \) অংশ বৃদ্ধি করতে হবে।
শতকরা হিসেবে এই বৃদ্ধির পরিমাণ দাঁড়ায় \( 41.42\% \)।
---
১৩. \( 6 \) সে.মি. ব্যাসার্ধের তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করলে তাদের মধ্যবর্তী স্থানের ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 9(2\sqrt{3}-\pi) \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কেন্দ্রত্রয় যোগ করলে \( 12 \) সে.মি. বাহুর সমবাহু ত্রিভুজ গঠিত হয় যার ক্ষেত্রফল \( 36\sqrt{3} \)।
ত্রিভুজ থেকে তিনটি \( 60^{\circ} \) বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল \( 18\pi \) বিয়োগ করতে হবে।
হিসাব করলে পাওয়া যায় \( 36\sqrt{3} - 18\pi \), যা থেকে \( 9 \) কমন নিলে উত্তরটি আসে।
---
১৪. একটি বৃত্তের পরিধিকে \( 20\% \) কমালে ব্যাসার্ধের পরিবর্তন ছাড়া ক্ষেত্রফল কত কমবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 36\% \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: পরিধি \( 20\% \) কমা মানে ব্যাসার্ধও \( 20\% \) কমে যাওয়া।
নতুন ব্যাসার্ধ আদি ব্যাসার্ধের \( 0.8 \) গুণ হবে।
ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার \( 1 - (0.8)^{2} = 1 - 0.64 = 0.36 \) বা \( 36\% \)।
---
১৫. বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য \( 11 \) এবং কেন্দ্রের কোণ \( 30^{\circ} \) হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 1386 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( s = \frac{\pi r \theta}{180} \) থেকে পাই \( 11 = \frac{\pi \times r \times 30}{180} \), যেখান থেকে \( r = 21 \) পাওয়া যায়।
এখন ক্ষেত্রফল \( = \pi \times 21^{2} = \frac{22}{7} \times 441 = 1386 \)।
সঠিক উত্তর ১৩৮৬ বর্গ একক।
---
১৬. একটি অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ \( 7 \) হলে এর পরিসীমা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 36 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অর্ধবৃত্তের পরিসীমা \( = \pi r + 2r \)।
মান বসিয়ে পাই \( (\frac{22}{7} \times 7) + (2 \times 7) = 22 + 14 \)।
সুতরাং মোট পরিসীমা ৩৬ সে.মি.।
---
১৭. ঘড়ির মিনিটের কাঁটার দৈর্ঘ্য \( 12 \) সে.মি.। এটি \( 5 \) মিনিটে কত ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 12\pi \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( 5 \) মিনিটে কাঁটাটি কেন্দ্রে \( 30^{\circ} \) কোণ উৎপন্ন করে।
ক্ষেত্রফল \( = \frac{30}{360} \times \pi \times 12^{2} \)।
সরল করলে পাই \( \frac{1}{12} \times 144\pi = 12\pi \) বর্গ সে.মি.।
---
১৮. বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও চাপের দৈর্ঘ্য উভয়ই দ্বিগুণ করলে কেন্দ্রের কোণের কী পরিবর্তন হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) অপরিবর্তিত থাকবে
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কেন্দ্রস্থ কোণ \( \theta = \frac{s}{r} \)।
উভয়ই দ্বিগুণ করলে নতুন কোণ হবে \( \frac{2s}{2r} \)।
কাটাকাটি করলে মানটি \( \frac{s}{r} \) ই থাকে, অর্থাৎ কোণ একই থাকে।
---
১৯. বৃত্তের দুটি সমান্তরাল জ্যা এর দৈর্ঘ্য \( 6 \) ও \( 8 \) এবং তাদের দূরত্ব \( 1 \)। ব্যাসার্ধ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 4 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: জ্যা দুটি কেন্দ্রের বিপরীত পাশে অবস্থিত হলে পিথাগোরাস প্রয়োগ করতে হয়।
ধরি কেন্দ্র থেকে দূরত্ব যথাক্রমে \( x \) এবং \( 1-x \), যেখানে \( r^{2} = x^{2} + 3^{2} \) এবং \( r^{2} = (1-x)^{2} + 4^{2} \)।
সমাধান করলে ব্যাসার্ধ \( r = 5 \) পাওয়া যায়।
---
২০. বৃত্তের পরিব্যাসার্ধ ও অন্তব্যাসার্ধের অনুপাত \( 2 : 1 \) হলে বহুভুজটি কী?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) সমবাহু ত্রিভুজ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পরিব্যাসার্ধ উচ্চতার \( \frac{2}{3} \) এবং অন্তব্যাসার্ধ \( \frac{1}{3} \) অংশ।
ফলে তাদের অনুপাত সর্বদা \( 2 : 1 \) হয়ে থাকে।
অন্যান্য সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রে এই অনুপাতটি ভিন্ন হয়।
---
২১. বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও পরিধির সাংখ্যমান সমান হলে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( r = 2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রশ্নমতে \( \pi r^{2} = 2\pi r \)।
উভয় পক্ষকে \( \pi r \) দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই \( r = 2 \)।
অর্থাৎ ব্যাসার্ধ ২ একক হলেই কেবল এই শর্তটি পূরণ করা সম্ভব।
---
২২. একটি গোলকের তলের ক্ষেত্রফল ও বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমান হলে ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 1 : 2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গোলকের ক্ষেত্রফল \( 4\pi R^{2} \) এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল \( \pi r^{2} \)।
শর্তমতে \( 4\pi R^{2} = \pi r^{2} \), যা থেকে \( r = 2R \) পাওয়া যায়।
সুতরাং ব্যাসার্ধের অনুপাত \( R : r = 1 : 2 \)।
---
২৩. \( 22 \) সে.মি. পরিধি বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{22}{\pi} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: পরিধি \( C = \pi d \)।
এখানে \( 22 = \pi d \) বসাতে হবে।
পার্থক্য করলে ব্যাস \( d = \frac{22}{\pi} \) সে.মি. পাওয়া যায়।
---
২৪. একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে \( 45^{\circ} \) কোণ উৎপন্ন করে। এটি সম্পূর্ণ পরিধির কত অংশ?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{1}{8} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সম্পূর্ণ বৃত্তের কোণ ৩৬০ ডিগ্রি।
চাপের অনুপাত হবে কেন্দ্রের কোণ ও ৩৬০ এর অনুপাতের সমান।
\( \frac{45}{360} \) সরল করলে আমরা পাই \( \frac{1}{8} \) অংশ।
---
২৫. বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \) থেকে \( 2r \) করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 3 \) গুণ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: নতুন ক্ষেত্রফল হবে \( \pi(2r)^{2} = 4\pi r^{2} \), যা আদি ক্ষেত্রফলের ৪ গুণ।
সুতরাং ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় \( 4 - 1 = 3 \) গুণ।
মনে রাখতে হবে, ৪ গুণ উত্তরটি হবে মোট ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রে।
---