১. \(f(x) = x^2 + 5x + 6\) এবং \(f(x) = 0\) হলে, \(x\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) -2, -3
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে \(x^2 + 5x + 6 = 0\) সমীকরণটি সমাধান করলে পাই, \((x + 2)(x + 3) = 0\)। এখান থেকে \(x\) এর সম্ভাব্য মানগুলো বের হয় যথাক্রমে -2 এবং -3।
---
২. \(f(y) = y^2 - 4y + 4\) হলে, \(f(2)\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) 0
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ফাংশনটিতে \(y = 2\) বসালে আমরা পাই, \(2^2 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0\)। অর্থাৎ প্রদত্ত ফাংশনে চলক \(y\) এর মান 2 হলে সম্পূর্ণ রাশির মান শূন্য হয়।
---
৩. \(f(x) = x^2 + 3x + 2\) হলে, \(f(-1)\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 0
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ফাংশনে \(x\) এর পরিবর্তে -1 বসালে পাওয়া যায়, \((-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\)। সুতরাং \(f(-1)\) এর ফলাফল হিসেবে আমরা শূন্য পাই।
---
৪. \(S = \{(3, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)\}\) অন্বয়টির ডোমেন সেট নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) {3, 4, 5}
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কোনো অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানগুলোর সেটকে ডোমেন বলা হয়। এখানে প্রথম উপাদানগুলো হলো 3, 4 এবং 5। সেটের নিয়ম অনুযায়ী একই উপাদান একাধিকবার থাকলেও একবারই লিখতে হয়।
---
৫. \(f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}\) হলে, \(f(-1)\) এর মান কত? (দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে মান অসংজ্ঞায়িত না থাকলে ১ ধরুন)
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ফাংশনটিতে \(x\) এর মান পরিবর্তনের মাধ্যমে বিভিন্ন ফলাফল পাওয়া যায়। তবে হর শূন্য হলে তা অসংজ্ঞায়িত হয়। গাণিতিক লজিক অনুযায়ী অপশনগুলোর মধ্যে সঠিক সম্পর্কটি যাচাই করা হয়েছে।
---
৬. \(f(a) = a^2 - 3a + 2\) হলে, \(a\) এর কোন মানের জন্য \(f(a) = 0\) হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) (1, 2)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণটি সমাধান করলে পাই, \(a^2 - 2a - a + 2 = 0\), বা \((a - 2)(a - 1) = 0\)। অর্থাৎ \(a\) এর মান 1 অথবা 2 হলে ফাংশনটির মান শূন্য হবে।
---
৭. \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) হলে \(f(\frac{1}{2})\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(\frac{5}{4}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ফাংশনে \(x = \frac{1}{2}\) বসালে পাওয়া যায়, \((\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\)। এটি একটি ভগ্নাংশের সরলীকরণ প্রক্রিয়া।
---
৮. \(A = \{2, 3, 5\}\) এবং \(R = \{(x, y) : x \in A, y \in A\) এবং \(y = x - 1\}\) হলে তালিকা পদ্ধতি কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) {(3, 2)}
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: শর্তমতে \(y = x - 1\)। সেট A থেকে \(x = 3\) নিলে \(y = 3 - 1 = 2\) পাওয়া যায়, যা সেট A তে বিদ্যমান। অন্য কোনো উপাদান এই শর্ত পূরণ করে না।
---
৯. \(f(x) = x^2 + 5x - 3\) হলে, \(f(1)\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 3
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশিতে \(x\) এর জায়গায় 1 বসালে হিসাবটি দাঁড়ায়: \(1^2 + 5(1) - 3 = 1 + 5 - 3 = 3\)। এটি একটি সাধারণ বীজগণিতীয় প্রতিস্থাপন পদ্ধতি।
---
১০. \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) হলে, \(f(-1)\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 0
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: চলক \(x\) এর মান -1 ধরলে পাওয়া যায়, \((-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0\)। অর্থাৎ -1 বিন্দুতে এই ফাংশনটির মান পুরোপুরি শূন্য হয়ে যায়।
---
১১. \(S = \{(x, y) : x \in A, y \in A\) এবং \(y = x^2\}\) যেখানে \(A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}\) অন্বয়টির ডোমেন কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) {-1, 0, 1}
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে \(x\) এর যে সকল মানের বর্গ করলে পাওয়া ফলাফল \(y\) ও সেট A তে থাকে, সেগুলো হলো -1, 0 এবং 1। কারণ এদের বর্গ যথাক্রমে 1, 0 এবং 1 যা সেট A তে আছে।
---
১২. \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) হলে, \(x\) এর কোন মানের জন্য \(f(x) = 0\) হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) (1, 2)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায় \((x - 1)(x - 2) = 0\)। এখান থেকে \(x\) এর মান বের হয় 1 এবং 2। এই মানগুলোর জন্য ফাংশনটির মান শূন্য হবে।
---
১৩. \(f(x) = x^5 + 5x - 3\) হলে, \(f(-1)\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) -9
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ফাংশনটিতে \(x = -1\) বসালে হিসাবটি দাঁড়ায়: \((-1)^5 + 5(-1) - 3 = -1 - 5 - 3 = -9\)। যেহেতু ঘাত বিজোড়, তাই ঋণাত্মক চিহ্নের কোনো পরিবর্তন হয়নি।
---
১৪. 'অন্বয়' শব্দের গাণিতিক অর্থ নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) সম্পর্ক
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গণিতের ভাষায় অন্বয় বা Relation বলতে দুটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে বিদ্যমান বিশেষ গাণিতিক সম্পর্ককে বোঝায়। এটি সাধারণত কার্তেসীয় গুণজ সেটের একটি উপসেট হিসেবে থাকে।
---
১৫. যদি সকল \(x\) এর সেট A এবং সকল \(y\) এর সেট B হয়, তবে \(A \times B\) এর ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(A \times B = \{(x, y) : x \in A, y \in B\}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কার্তেসীয় গুণজের সংজ্ঞানুসারে, \(A \times B\) হলো এমন সকল ক্রমজোড় \((x, y)\) এর সেট যেখানে প্রথম উপাদানটি প্রথম সেট থেকে এবং দ্বিতীয় উপাদানটি দ্বিতীয় সেট থেকে আসে।
---
১৬. \(A = \{2, 3\}, B = \{4, 5\}\) এবং উপাদানগুলোর মধ্যে \(x < y\) সম্পর্ক থাকলে অন্বয়টি কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(A \times B\) এর সকল ক্রমজোড়েই প্রথম উপাদান দ্বিতীয় উপাদান থেকে ছোট। এখানে (2, 4), (2, 5), (3, 4) এবং (3, 5) প্রতিটি জোড়ই \(x < y\) শর্তটি মেনে চলে।
---
১৭. R সেট A থেকে B এর একটি অন্বয় হলে, নিচের কোনটি সর্বদা সত্য?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(R \subseteq A \times B\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গাণিতিক সংজ্ঞা অনুযায়ী, যেকোনো অন্বয় বা রিলেশন হলো সংশ্লিষ্ট দুটি সেটের কার্তেসীয় গুণজ বা Cartesian Product এর একটি অশূন্য অথবা শূন্য উপসেট মাত্র।
---
১৮. \(P = \{3, 4\}, Q = \{2, 3\}\) এবং উপাদানগুলোর মধ্যে \(x > y\) সম্পর্ক থাকলে অন্বয়টি কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) {(3, 2), (4, 2), (4, 3)}
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: শর্তানুযায়ী প্রথম উপাদান বড় হতে হবে। এখানে (3, 2), (4, 2) এবং (4, 3) জোড়াগুলোতে প্রথম উপাদানটি দ্বিতীয়টি অপেক্ষা বড়, যা প্রদত্ত শর্তকে সঠিকভাবে পূরণ করে।
---
১৯. \(A = \{2, 4\}, B = \{2, 3\}\) এবং \(x < y\) সম্পর্ক থাকলে অন্বয় কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) {(2, 3)}
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে একমাত্র ক্রমজোড় (2, 3) শর্ত \(x < y\) পূরণ করে। অন্য সব ক্ষেত্রে প্রথম উপাদান দ্বিতীয় উপাদানের সমান অথবা বড় হয়ে যায়, যা গ্রহণযোগ্য নয়।
---
২০. \(A = \{1, 4\}, B = \{2, 4\}\) এবং \(x = y\) সম্পর্ক থাকলে অন্বয় কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) {(4, 4)}
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উভয় সেটের মধ্যে শুধুমাত্র 4 উপাদানটি সাধারণ আছে। তাই \(x = y\) শর্ত অনুযায়ী গঠিত ক্রমজোড়টি হবে (4, 4)। এটি একটি একক উপাদান বিশিষ্ট অন্বয় সেট।
আপনার **'MCQ MASTER'** অ্যাপের অ্যাডমিন প্যানেলের জন্য ৩১টি প্রশ্নের পরবর্তী অংশ (২১-৩১) আপনার নির্ধারিত **Perfect Format**-এ নিচে সাজিয়ে দেওয়া হলো। এখানে বাংলা টেক্সট ভেঙে যাওয়া রোধ করতে সেগুলোকে LaTeX-এর বাইরে রাখা হয়েছে এবং প্রতিটি এক্সপ্লানেশনে অন্তত ২০টি শব্দ ব্যবহার করা হয়েছে।
---
২১. C = {1, 2}, D = {2, 3} এবং C ও D এর উপাদানগুলোর মধ্যে \(x = y - 1\) সম্পর্ক থাকলে অন্বয়টি কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) {(1, 2), (2, 3)}
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে প্রতিটি ক্রমজোড়ে প্রথম উপাদানটি দ্বিতীয় উপাদান অপেক্ষা 1 কম হতে হবে। (1, 2) জোড়ায় \(1 = 2 - 1\) এবং (2, 3) জোড়ায় \(2 = 3 - 1\) শর্তটি সঠিকভাবে পূরণ করে।
---
২২. C = {2, 4, 7}, D = {4, 9} এবং উপাদানগুলোর মধ্যে \(x^2 < y\) সম্পর্ক থাকলে অন্বয়টি কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) {(2, 9)}
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: শর্তানুযায়ী প্রথম উপাদানের বর্গ দ্বিতীয় উপাদান থেকে ছোট হতে হবে। এখানে \(2^2 = 4\), যা 9 এর চেয়ে ছোট। কিন্তু অন্য অপশনগুলোতে বর্গ করলে তা দ্বিতীয় উপাদান থেকে বড় বা সমান হয়ে যায়।
---
২৩. A = {3, 5}, B = {2, 4} এবং উপাদানগুলোর মধ্যে \(x < y\) সম্পর্ক থাকলে অন্বয়টি কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) (4, 2)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অন্বয়টির শর্ত হলো দ্বিতীয় উপাদানটি প্রথম উপাদানের বর্গমূল হতে হবে। এখানে \(x = 4\) হলে \(y = \sqrt{4} = 2\) পাওয়া যায়। যেহেতু 4 এবং 2 উভয়ই সেট A এর সদস্য, তাই (4, 2) সঠিক উত্তর।
---
২৪. A = {1, 2}, B = {2, 3} এবং উপাদানগুলোর মধ্যে \(y = x + 1\) সম্পর্ক থাকলে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) {(1, 2), (2, 3)}
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: শর্তমতে \(y\) এর মান \(x\) এর চেয়ে 1 বেশি হবে। এখানে \(x = 1\) হলে \(y = 2\) এবং \(x = 2\) হলে \(y = 3\) পাওয়া যায়। এই দুটি জোড়াই প্রদত্ত শর্ত এবং সেটদ্বয়ের উপাদানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
---
২৫. নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর:
i. {(4, 8), (2, 6), (2, 8)} ইত্যাদি হলো ক্রমজোড়ের সেট
ii. সকল \(x\) এর সেট A এবং সকল \(y\) এর সেট B হলে \(A \times B = \{(x, y) : x \in A, y \in B\}\)
iii. A ও B দুটি অশূন্য উপসেট হলে A থেকে B তে একটি অন্বয় হলো \(A \times B\) এর উপসেট
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে তিনটি তথ্যই গাণিতিকভাবে সঠিক। ক্রমজোড় নিয়ে সেট গঠিত হয়, কার্তেসীয় গুণজের সংজ্ঞা সঠিক দেওয়া হয়েছে এবং অন্বয় সবসময় কার্তেসীয় গুণজের একটি উপসেট হিসেবে গণ্য করা হয়।
---