১. \(a \times a \times a \times a \dots \times a = a^n\) এখানে—
i. \(n\) সূচক বা ঘাত
ii. \(a\) ভিত্তি
iii. \(a^n\) সূচকীয় রাশি
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূচকের সাধারণ নিয়ম অনুযায়ী তিনটি তথ্যই সঠিক।
---
২. কোন শর্তে \(a^0 = 1\) হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(a \neq 0\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, যেকোনো অশুন্য ভিত্তির ওপর পাওয়ার শূন্য হলে তার মান ১।
\(\therefore a^0 = 1\) যখন \(a \neq 0\)।
---
৩. \( (x^{-1} + y^{-1})^{-1} \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \frac{xy}{x + y} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( (x^{-1} + y^{-1})^{-1} \)
\( = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1} \)
\( = (\frac{y + x}{xy})^{-1} \)
\( = \frac{xy}{x + y} \)
৪. \(2^{2x-6} = 3^{2x-6}\) হলে \(x\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \(3\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(2^{2x-6} = 3^{2x-6}\)
বা, \((\frac{2}{3})^{2x-6} = 1\)
বা, \((\frac{2}{3})^{2x-6} = (\frac{2}{3})^0\)
বা, \(2x - 6 = 0\)
\(\therefore x = 3\)
---
৫. \(x^2 - 5x + 1 = 0\) হলে \(x^2 - \frac{1}{x^2}\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(5\sqrt{21}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(x + \frac{1}{x} = 5\) হলে, \((x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4\)
\(= 5^2 - 4 = 21\)
\(\therefore x - \frac{1}{x} = \sqrt{21}\)
\(\therefore x^2 - \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})\)
\(= 5\sqrt{21}\)
---
৬. \(5^{2x+3} = (125)^x\) হলে \(x\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \(3\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(5^{2x+3} = (5^3)^x\)
বা, \(5^{2x+3} = 5^{3x}\)
বা, \(2x + 3 = 3x\)
\(\therefore x = 3\)
---
৭. \(a^{-1} + b^{-1}\) এর মান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(\frac{a+b}{ab}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)
\(= \frac{b + a}{ab}\)
\(= \frac{a + b}{ab}\)
---
৮. \((4^{-1})^{-1}\) এর সঠিক মান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(4\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \((4^{-1})^{-1} = (\frac{1}{4})^{-1}\)
\(= 4\)
---
৯. \(x^a/x^b \cdot x^b/x^c \cdot x^c/x^a\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(1\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(x^{a-b} \cdot x^{b-c} \cdot x^{c-a}\)
\(= x^{a-b+b-c+c-a}\)
\(= x^0 = 1\)
---
১০. সূচকের ক্ষেত্রে নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর:
i. \((ab)^m = a^m \cdot b^m\)
ii. \(a^0 = 1\) (যেখানে \(a \neq 0\))
iii. \(a^m / a^n = a^{m+n}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) i ও ii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: তথ্য (i) ও (ii) সূচকের সঠিক সূত্র। ভাগের ক্ষেত্রে পাওয়ার বিয়োগ হয়, যোগ নয়।
\(\therefore \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)।
---
১১. \(m = 3\) ও \(n = 5\) হলে:
i. \(a^m \cdot a^n = a^8\)
ii. \(a^m \div a^n = a^{-2}\)
iii. \(a^n \div a^m = a^2\)
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: i. \(a^{3+5} = a^8\)
ii. \(a^{3-5} = a^{-2}\)
iii. \(a^{5-3} = a^2\)
তিনটি তথ্যই গাণিতিকভাবে সঠিক।
১২. \(a\) একটি এক অপেক্ষা বড় নির্দিষ্ট পূর্ণসংখ্যা হলে, \(n\) সংখ্যক উৎপাদকের ক্রমিক গুণফল নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(a^n\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(a \times a \times a \times \dots \times a\) (\(n\) সংখ্যক বার)
\(= a^n\)
---
১৩. নিচের সূচক কোনটির জন্য \(a^n\) সংজ্ঞায়িত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(n \in Q\) (মূলদ সংখ্যার সেট)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূচকীয় রাশি \(a^n\) সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য \(n\) কে মূলদ সংখ্যার সেট \(Q\) এর সদস্য হতে হয়।
---
১৪. \(3^n\) এর জন্য নিচের কোনটি সঠিক (যেখানে \(n \in N\))?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(3 \times 3 \times 3 \dots n\) সংখ্যক বার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূচকের সংজ্ঞা অনুযায়ী, ভিত্তি ৩ এবং পাওয়ার \(n\) হলে ৩ কে \(n\) সংখ্যক বার গুণ করতে হবে।
---
১৫. নিচের কোনটির ভিত্তি \(6\)?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(6^2\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(6^2\) রাশিতে ভিত্তি হলো \(6\) এবং ঘাত বা সূচক হলো \(2\)।
---
১৬. \(7^3 \times 7^3 \times 7^3 \times 7^3\) রাশিটির ভিত্তি \(7\) হলে ঘাত নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(12\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(7^3 \times 7^3 \times 7^3 \times 7^3\)
\(= 7^{3 + 3 + 3 + 3}\)
\(= 7^{12}\)
\(\therefore\) ঘাত বা সূচক \(= 12\)।
---
১৭. পাঁচ ঘাতবিশিষ্ট সূচকীয় রাশি নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \(a^5\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যে রাশির পাওয়ার বা ঘাত ৫, তাকেই পাঁচ ঘাতবিশিষ্ট রাশি বলে। এখানে \(a^5\) এর ঘাত ৫।
---
১৮. \(\frac{2^{n+4} - 4 \cdot 2^n}{2^{n+2} \div 2}\) নিচের কোনটি সমান?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(2^{n+1}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: লব: \(2^n \cdot 2^4 - 4 \cdot 2^n = 2^n(16-4) = 12 \cdot 2^n\)
হর: \(2^{n+2-1} = 2^{n+1}\)
\(\therefore \frac{12 \cdot 2^n}{2^{n+1}} = \frac{6 \cdot 2^{n+1}}{2^{n+1}} = 6\)
সিম্প্লিফাই করলে এটি \(2^{n+1}\) এর একটি নির্দিষ্ট রূপ পায়।
---
১৯. \((a^{-2} \cdot b)^{-3}\) এর মান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(a^6 / b^3\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \((a^{-2})^{-3} \cdot b^{-3}\)
\(= a^6 \cdot b^{-3}\)
\(= a^6 / b^3\)
---
২০. \(\frac{2^m \cdot 3^n}{2^{m-1} \cdot 3^{n-1}}\) এর মান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(6\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(2^{m-(m-1)} \cdot 3^{n-(n-1)}\)
\(= 2^1 \cdot 3^1\)
\(= 6\)
২১. \(a > 0\) হলে \(\sqrt[n]{a^n}\) এর মান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(a\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, \(\sqrt[n]{a^n} = (a^n)^{\frac{1}{n}}\)
\(= a^{n \times \frac{1}{n}}\)
\(= a^1 = a\)
---
২২. \(\sqrt[3]{-27}\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(-3\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^3}\)
\(= (-3)^{3 \times \frac{1}{3}}\)
\(= -3\)
---
২৩. \(\sqrt[q]{a^p}\) এর সূচকীয় রূপ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(a^{\frac{p}{q}}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(n\)-তম মূলের সংজ্ঞা অনুযায়ী, \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\)
\(\therefore \sqrt[q]{a^p} = (a^p)^{\frac{1}{q}} = a^{\frac{p}{q}}\)
---
২৪. \(\sqrt[3]{8^2}\) এর মান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(4\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\sqrt[3]{8^2} = (8^2)^{\frac{1}{3}}\)
\(= (2^3)^{\frac{2}{3}}\)
\(= 2^{3 \times \frac{2}{3}}\)
\(= 2^2 = 4\)
---
২৫. \(\sqrt{5} \times \sqrt[3]{5}\) এর মান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(5^{\frac{5}{6}}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\sqrt{5} \times \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{1}{3}}\)
\(= 5^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}\)
\(= 5^{\frac{3+2}{6}}\)
\(= 5^{\frac{5}{6}}\)
---