১. \( a, ar, ar^{2}, ... \) ধারার ৩য় পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( ar^{2} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আদর্শ গুণোত্তর ধারার বিন্যাস অনুযায়ী পদের ঘাত পদসংখ্যা থেকে ১ কম হয়। ৩য় পদের ক্ষেত্রে ঘাত হবে ২। তাই সঠিক উত্তর \( ar^{2} \)।
২. গুণোত্তর ধারার পরবর্তী পদ বের করার জন্য প্রতিটি পদের সাথে কী গুণ করতে হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) সাধারণ অনুপাত
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গুণোত্তর ধারার সংজ্ঞানুসারে প্রতিটি পদ তার পূর্ববর্তী পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা বা অনুপাত গুণ করার মাধ্যমে গঠিত হয়। এই নির্দিষ্ট সংখ্যাটিকে সাধারণ অনুপাত বলা হয়। এটি ধারার জ্যামিতিক প্রগতি বজায় রাখতে সাহায্য করে।
৩. গুণোত্তর ধারার ১ম পদ \( a \) এবং সাধারণ অনুপাত \( r \) হলে ধারাটি কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( a + ar + ar^{2} + ... \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গুণোত্তর ধারার গঠন অনুযায়ী ১ম পদ \( a \) হলে ২য় পদ হয় \( ar \), ৩য় পদ \( ar^{2} \)। এভাবে ঘাত পর্যায়ক্রমে বাড়তে থাকে। এটি একটি আদর্শ গুণোত্তর ধারার গাণিতিক বিন্যাস প্রকাশ করে।
৪. \( 2 + 4 + 8 + ... \) ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 2
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সাধারণ অনুপাত বের করতে ২য় পদকে ১ম পদ দিয়ে ভাগ করতে হয়। এখানে \( \frac{4}{2} = 2 \) পাওয়া যায়। ৩য় পদকে ২য় পদ দিয়ে ভাগ করলেও একই ফলাফল ২ আসে।
৫. \( 3 + 9 + 27 + ... \) ধারাটির ১ম পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 3
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেকোনো ধারার একেবারে শুরুতে যে পদটি থাকে তাকে ১ম পদ বলা হয়। এখানে ৩ সংখ্যাটি সবার প্রথমে আছে। তাই এই ধারার ১ম পদ হিসেবে ৩ নির্ধারিত হলো।
৬. গুণোত্তর ধারার \( n \) তম পদের সূত্র কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( ar^{n-1} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গুণোত্তর ধারার যেকোনো নির্দিষ্ট অবস্থানের পদের মান বের করতে এই সূত্রটি ব্যবহৃত হয়। এখানে \( a \) ১ম পদ এবং \( r \) সাধারণ অনুপাত। এটি একটি চিরন্তন গাণিতিক সূত্র।
৭. \( 1 + 2 + 4 + ... \) ধারাটির ৪র্থ পদ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 8
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে ১ম পদ ১ এবং অনুপাত ২। সূত্র অনুযায়ী ৪র্থ পদ হবে \( 1 \times 2^{3} \)। হিসাব করলে ফলাফল হিসেবে ৮ পাওয়া যায় যা সঠিক।
৮. \( 5, 25, 125, ... \) অনুক্রমটি কোন ধরনের?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) গুণোত্তর
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে প্রতিটি পদের ভাগফল বা অনুপাত ৫ হিসেবে সমান আছে। যেহেতু অনুপাত সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর অনুক্রম। এটি জ্যামিতিক হারে বৃদ্ধি পাচ্ছে।
৯. \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... \) ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{1}{2} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে ২য় পদকে ১ম পদ দিয়ে ভাগ করলে আমরা \( \frac{1}{4} \div \frac{1}{2} \) পাই। হিসাব করলে ফলাফল হিসেবে \( \frac{1}{2} \) পাওয়া যায়। এটি ধারার সাধারণ অনুপাত।
১০. গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাতকে কোন বর্ণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( r \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গাণিতিক প্রথা অনুযায়ী গুণোত্তর ধারার কমন রেশিও বা সাধারণ অনুপাতকে ইংরেজি \( r \) বর্ণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এটি ধারার বৃদ্ধির হার নির্দেশ করে।
১১. \( 7, 7, 7, ... \) ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রতিটি পদ সমান হওয়ায় ভাগফল সর্বদা ১ হবে। এখানে \( \frac{7}{7} = 1 \) পাওয়া যায়। তাই এটি একটি বিশেষ গুণোত্তর ধারা যার অনুপাত ১।
১২. গুণোত্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট থাকলে তাকে কী বলা হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) সসীম গুণোত্তর ধারা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যদি কোনো ধারার পদের সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় তবে তাকে সসীম বা ফিনিট ধারা বলা হয়। এটি গুণোত্তর ধারার একটি উপবিভাগ।
১৩. \( 4 + 12 + 36 + ... \) ধারাটির পরবর্তী পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 108
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে সাধারণ অনুপাত হলো ৩। পরবর্তী পদ পেতে শেষ পদ ৩৬ এর সাথে ৩ গুণ করতে হবে। গুণ করলে আমরা ১০৮ ফলাফলটি পাই।
১৪. \( 1, -2, 4, -8, ... \) ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) -2
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে ২য় পদ \( -2 \) কে ১ম পদ ১ দিয়ে ভাগ করলে \( -2 \) পাওয়া যায়। অনুপাত ঋণাত্মক হওয়ায় পদের চিহ্ন পর্যায়ক্রমে পরিবর্তিত হচ্ছে।
১৫. গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ৩ এবং অনুপাত ২ হলে ২য় পদ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 6
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ২য় পদ বের করতে ১ম পদের সাথে অনুপাত গুণ করতে হয়। এখানে \( 3 \times 2 = 6 \) হয়। এটি সমান্তর ধারা নয় বরং গুণোত্তর ধারার নিয়ম।
১৬. \( 64 + 32 + 16 + ... \) ধারাটির অনুপাত কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{1}{2} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে পদের মান পর্যায়ক্রমে অর্ধেক হয়ে যাচ্ছে। \( \frac{32}{64} \) করলে ফলাফল \( \frac{1}{2} \) আসে। এটি একটি হ্রাসমান গুণোত্তর ধারা।
১৭. কোনো গুণোত্তর ধারার ১ম পদ শূন্য হতে পারে কি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) না
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ১ম পদ শূন্য হলে পরবর্তী সকল পদও শূন্য হয়ে যাবে এবং কোনো সাধারণ অনুপাত সংজ্ঞায়িত হবে না। তাই আদর্শ গুণোত্তর ধারার ১ম পদ অশূন্য হতে হয়।
১৮. \( 10, 100, 1000, ... \) ধারার ৪র্থ পদ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 10000
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে সাধারণ অনুপাত ১০। ৩য় পদ ১০০০ এর সাথে ১০ গুণ করলে আমরা ৪র্থ পদ হিসেবে ১০০০০ পাই। এটি একটি সাধারণ জ্যামিতিক প্রবৃদ্ধি।
১৯. \( x, y, z \) গুণোত্তর ধারায় থাকলে কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( y^{2} = xz \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গুণোত্তর ধারার মধ্যক পদের বর্গ তার পার্শ্ববর্তী দুই পদের গুণফলের সমান হয়। এখানে \( \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \) থেকে \( y^{2} = xz \) পাওয়া যায়।
২০. \( ar^{n-1} \) সূত্রে \( n \) কী নির্দেশ করে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) পদসংখ্যা বা অবস্থান
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এই সূত্রে \( n \) দ্বারা পদের ক্রম বা অবস্থান বোঝানো হয়। যেমন ৩য় পদের জন্য \( n \) এর মান ৩ বসাতে হয়। এটি ধারার একটি চলক।
২১. \( 5 + 10 + 20 + ... \) ধারাটির ১ম ৩টি পদের সমষ্টি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 35
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সরাসরি যোগ করলে পাওয়া যায় \( 5 + 10 + 20 = 35 \)। এটি ছোট ধারার ক্ষেত্রে দ্রুত যোগ করার পদ্ধতি। সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করলেও একই উত্তর আসবে।
২২. গুণোত্তর ধারার অনুপাত ঋণাত্মক হলে পদের চিহ্নের কী পরিবর্তন হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) পর্যায়ক্রমে পাল্টায়
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাত ঋণাত্মক হলে একটি পদ ধনাত্মক এবং পরবর্তী পদটি ঋণাত্মক হয়। এভাবে ধারার প্রতিটি পদের চিহ্ন অল্টারনেট বা পরিবর্তিত হতে থাকে।
২৩. \( 2, 4, 8, ... \) ধারার সাধারণ পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 2^{n} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে \( n=1 \) বসলে ২, \( n=2 \) বসলে ৪ পাওয়া যায়। সূত্রানুসারে এটি \( 2 \times 2^{n-1} \) যা সরল করলে \( 2^{n} \) হয়।
২৪. \( 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, ... \) ধারার ৪র্থ পদ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{1}{27} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে অনুপাত \( \frac{1}{3} \)। ৩য় পদ \( \frac{1}{9} \) এর সাথে \( \frac{1}{3} \) গুণ করলে আমরা \( \frac{1}{27} \) পাই।
২৫. \( a = 10, r = 1 \) হলে ১ম ১০টি পদের সমষ্টি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 100
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাত ১ হলে প্রতিটি পদ সমান থাকে। সমষ্টির জন্য পদসংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হয়। এখানে \( 10 \times 10 = 100 \) হয়।