১. $a^2-b^2=5, a+b=5$ হলে $a-b = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $1$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \Rightarrow 5 = 5 \times (a-b) \Rightarrow a-b=1$।
২. $(a + b)^3$ এর বিস্তৃতি নিচের কোনটি? :
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $(a+b)^3$ এর সূত্র অনুযায়ী এটি $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ এর সমান।
৩. $(a - b)^3$ এর বিস্তৃতি নিচের কোনটি? :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $(a-b)^3$ এর সূত্র অনুযায়ী এর বিস্তৃতি $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ হয়।
৪. $a^3 + b^3$ এর উৎপাদকের সূত্র কোনটি? :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $a^3 + b^3$ এর উৎপাদকের সূত্র হলো $(a+b)$ এবং $(a^2 - ab + b^2)$ এর গুণফল।
৫. $a^3 - b^3$ এর উৎপাদকের সূত্র কোনটি? :
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $a^3 - b^3$ এর উৎপাদকের সূত্র হলো $(a-b)$ এবং $(a^2 + ab + b^2)$ এর গুণফল।
৬. $a^3 + b^3$ এর মান নির্ণয়ের সূত্র কোনটি? :
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $a^3 + b^3$ এর মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী এটি $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$।
৭. $a^3 - b^3$ এর মান নির্ণয়ের সূত্র কোনটি? :
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $(a-b)^3 + 3ab(a-b)$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $a^3 - b^3$ এর মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী এটি $(a-b)^3 + 3ab(a-b)$।
৮. $x + \frac{1}{x} = 2$ হলে, $x^3 + \frac{1}{x^3} = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $2$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $x=1$ হলে সমীকরণটি সত্য। সুতরাং $1^3 + \frac{1}{1^3} = 1 + 1 = 2$।
৯. $x - \frac{1}{x} = 2$ হলে, $x^3 - \frac{1}{x^3} = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $14$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূত্র $(x - \frac{1}{x})^3 + 3(x)(\frac{1}{x})(x - \frac{1}{x}) = 2^3 + 3(2) = 8 + 6 = 14$।
১০. $a + b = 3$ এবং $ab = 2$ হলে, $a^3 + b^3 = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $9$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) = 3^3 - 3(2)(3) = 27 - 18 = 9$।
১১. $a - b = 2$ এবং $ab = 3$ হলে, $a^3 - b^3 = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $26$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) = 2^3 + 3(3)(2) = 8 + 18 = 26$।
১২. $x = 3$ হলে, $x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $0$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: রাশিটি $(x-3)^3$ এর সূত্র। $x=3$ বসিয়ে পাই $(3-3)^3 = 0^3 = 0$।
১৩. $x + \frac{1}{x} = 3$ হলে, $x^3 + \frac{1}{x^3} = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $18$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$।
১৪. $x - \frac{1}{x} = 4$ হলে, $x^3 - \frac{1}{x^3} = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $76$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3(x - \frac{1}{x}) = 4^3 + 3(4) = 64 + 12 = 76$।
১৫. $a + b = 5, a^2 + b^2 = 13$ হলে, $a^3 + b^3 = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $35$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $2ab = (a+b)^2 - (a^2+b^2) = 25 - 13 = 12 \Rightarrow ab=6$। $a^3+b^3 = 5^3 - 3(6)(5) = 125 - 90 = 35$।
১৬. $x + y = 3$ এবং $xy = 2$ হলে, $x^3 + y^3 + 9xy = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $27$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 27 - 3(2)(3) = 9$। সুতরাং $9 + 9(2) = 9 + 18 = 27$।
১৭. $x^2 - 3x + 1 = 0$ হলে, $x^3 + \frac{1}{x^3} = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $18$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $x + \frac{1}{x} = 3$। সুতরাং $x^3 + \frac{1}{x^3} = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$।
১৮. $a = 11$ হলে, $a^3 - 33a^2 + 363a - 1331 = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $0$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: রাশিটি $(a-11)^3$। $a=11$ বসিয়ে $(11-11)^3 = 0$।
১৯. $a + b = 2$ হলে, $a^3 + b^3 + 6ab = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $8$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $a^3+b^3+6ab = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + 6ab = 2^3 - 6ab + 6ab = 8$।
২০. $x + \frac{1}{x} = 2$ হলে, $x^6 + \frac{1}{x^6} = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $2$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $x=1$ হলে $1^6 + 1 = 2$।
২১. $a - b = 5, ab = 6$ হলে, $a^3 - b^3 = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $95$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) = 5^3 + 3(6)(5) = 125 + 90 = 215$ (সংশোধনী: $125+90=215$)।
২২. $x + \frac{1}{x} = 4$ হলে, $\frac{x^3 + \frac{1}{x^3}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{26}{7}$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$, $x^3 + \frac{1}{x^3} = 52$। অনুপাত $\frac{52}{14} = \frac{26}{7}$।
২৩. $(a+b)^3 - (a-b)^3 = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $6a^2b + 2b^3$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = 6a^2b + 2b^3$।
২৪. $x + y = 5, xy = 6$ হলে, $x^3 - y^3 = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $19$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 25 - 24 = 1 \Rightarrow x-y=1$। $x^3-y^3 = 1^3 + 3(6)(1) = 19$।
২৫. $x = 3 + 2\sqrt{2}$ হলে, $x^3 + \frac{1}{x^3} = ?$ :
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $198$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $x = 3 + 2\sqrt{2}, \frac{1}{x} = 3 - 2\sqrt{2} \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 6$। সুতরাং $6^3 - 3(6) = 216 - 18 = 198$।