১. \(a + b = 1, ab = 4\) হলে \((a - b)^2\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) -15
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী, \((a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 1^2 - 4(4) = 1 - 16 = -15\)। এখানে ঋণাত্মক মানটি সঠিক।<br>---
২. \(x + \frac{1}{x} = 3\) হলে, \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 7
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে \(a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab\) সূত্রটি ব্যবহার করলে আমরা পাই, \(3^2 - 2 = 9 - 2 = 7\)। এটি মান নির্ণয়ের একটি মৌলিক পদ্ধতি।<br>---
৩. \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 6\) হলে, \(x - \frac{1}{x}\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(\pm 2\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূত্রানুসারে, \((x - \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 6 - 2 = 4\)। সুতরাং বর্গমূল করলে মানটি দাঁড়াবে \(\pm 2\)।<br>---
৪. \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 2\) হলে, \(a + \frac{1}{a}\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 2
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \((a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 2 + 2 = 4\)। চার এর বর্গমূল করলে আমরা ২ পাই, যা সঠিক ফলাফল।<br>---
৫. \(p - \frac{1}{p} = 3\) হলে, \(p^2 + \frac{1}{p^2}\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 11
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে অনুসিদ্ধান্তটি হলো \((p - \frac{1}{p})^2 + 2\)। মান বসালে পাই \(3^2 + 2 = 9 + 2 = 11\)।<br>---
৬. সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 2
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ২ হচ্ছে একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা এবং এটিই গণিতের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা। ১ মৌলিক সংখ্যা নয় কারণ এর কেবল একটিই উৎপাদক আছে।<br>---
৭. \(m + n = 8\) এবং \(mn = 15\) হলে, \((m - n)^2\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 4
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \((m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn\)। মানগুলো বসালে পাই \(8^2 - 4(15) = 64 - 60 = 4\)।<br>---
৮. \((a + b - c)^2\) এর সঠিক বিস্তৃতি নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বর্গের সূত্র অনুযায়ী, প্রতিটি পদের বর্গের যোগফলের সাথে পদগুলোর গুণফলের দ্বিগুণ যোগ হয়। এখানে \(c\) ঋণাত্মক হওয়ায় \(bc\) ও \(ca\) সংবলিত পদগুলো বিয়োগ হবে।<br>---
৯. \(a + b = 3\) এবং \(ab = 2\) হলে, \(a^2 - ab + b^2\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 3
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(a^2 + b^2 - ab = (a+b)^2 - 2ab - ab = 3^2 - 3(2) = 9 - 6 = 3\)। এটি একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বীজগণিতীয় সমস্যা।<br>---
১০. \(x = 2 + \sqrt{3}\) হলে, \(x^2\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(7 + 4\sqrt{3}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বর্গের সূত্র প্রয়োগ করলে পাই: \((2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}\)।<br>---
১১. \(25x^2 + 36y^2\) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 60xy
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে \(25x^2 = (5x)^2\) এবং \(36y^2 = (6y)^2\)। পূর্ণবর্গ হতে হলে মাঝের পদটি \(2(5x)(6y) = 60xy\) হতে হবে।<br>---
১২. \(a + \frac{1}{a} = \sqrt{2}\) হলে, \(a^2 + \frac{1}{a^2}\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 0
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 = (\sqrt{2})^2 - 2 = 2 - 2 = 0\)। বর্গমূলের বর্গের ক্ষেত্রে মূল সংখ্যাটিই ফিরে আসে।<br>---
১৩. \(a + b = \sqrt{5}\) এবং \(a - b = \sqrt{3}\) হলে, \(ab\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \(4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2 = 5 - 3 = 2\)। সুতরাং \(ab = 2/4 = 0.5\) (সংশোধন: অপশন ডি-তে হাফ হওয়া উচিত ছিল অথবা প্রশ্নে ৩ ও ২ থাকলে উত্তর ১ হতো)।<br>---
১৪. \(2a + \frac{2}{a} = 2\) হলে \(a^2 + \frac{1}{a^2}\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) -1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রথমে ২ কমন নিলে পাই \(a + \frac{1}{a} = 1\)। এখন বর্গ করলে পাই \(1^2 - 2 = -1\)। এটি একটি জটিল বীজগাণিতিক রাশি।<br>---
১৫. \(x^2 - 5x + 1 = 0\) হলে, \(x^2 - \frac{1}{x^2}\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(5\sqrt{21}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণ থেকে \(x + \frac{1}{x} = 5\) পাওয়া যায়। এখান থেকে \(x - \frac{1}{x} = \sqrt{25-4} = \sqrt{21}\)। গুণ করলে ফলাফল \(5\sqrt{21}\) হবে।<br>---
১৬. \(x^2 - 2\sqrt{6} - 5 = 0\) হলে \(x + \frac{1}{x}\) এর মান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(2\sqrt{6}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণটি সাজালে দেখা যায় চলক ও তার বিপরীতের যোগফল রুট সংবলিত পদের সহগের ওপর নির্ভর করে। এটি একটি আধুনিক বীজগাণিতিক সমস্যা।<br>---
১৭. \(a^2 - b^2 = 4\) এবং \(ab = 2\) হলে \(a^2 + b^2\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(4\sqrt{2}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \((a^2 + b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2 = 4^2 + 4(2^2) = 16 + 16 = 32\)। সুতরাং \(a^2 + b^2 = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)।<br>---
১৮. \(a + b = 5\) এবং \(a - b = 3\) হলে \(a^2 + b^2\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) 17
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \(2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34\)। সুতরাং \(a^2 + b^2 = 17\)।<br>---
১৯. \(a - b = 4\) এবং \(ab = 3\) হলে \((a + b)^2\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 28
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী, \((a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 4^2 + 4(3) = 16 + 12 = 28\)। এটি মান নির্ণয়ের একটি চমৎকার উদাহরণ।<br>---
২০. নিচের কোন সূত্রটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অপশন এ এবং সি উভয়ই সঠিক হতে পারে, তবে সি হলো বর্গের মূল সূত্র। অন্যদিকে ডি অপশনটি ভুলভাবে লেখা ছিল। সঠিক বর্গের সূত্র হলো পদদ্বয়ের বর্গের যোগফল ও দ্বিগুণ গুণফল।<br>---
২১. বীজগাণিতিক সূত্রাবলির ক্ষেত্রে সঠিক তথ্য কোনটি?<br>i. \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)<br>ii. \((a + b)^2 = (a-b)^2 + 4ab\)<br>iii. \((a + b)^4 - (a - b)^4 = 8ab(a^2 + b^2)\)<br>নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে তিনটি তথ্যই গাণিতিকভাবে সত্য। প্রথম দুটি হলো বর্গের সূত্র ও অনুসিদ্ধান্ত। তৃতীয়টি হলো বর্গের বিয়োগফল থেকে প্রাপ্ত একটি বিশেষ রূপান্তর।<br>---
২২. \(x + y = 6, x^2 - y^2 = 12\) হলে সঠিক তথ্য কোনটি?<br>i. \((x - y)^2 = 4\)<br>ii. \(x = 4\)<br>iii. \(xy = 8\)<br>নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(x-y = 12/6 = 2\)। ফলে \(i\) সঠিক। সমাধান করলে \(x=4\) ও \(y=2\) আসে, তাই \(ii\) ও \(iii\) ও সত্য।<br>---
২৩. \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 7\) হলে নিচের তথ্যগুলো যাচাই কর—<br>i. \((x + \frac{1}{x})^2 = 9\)<br>ii. \((x - \frac{1}{x})^2 = 4\)<br>iii. \(x^4 + \frac{1}{x^4} = 47\)<br>নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(i\) নং তথ্য সঠিক কারণ \(7+2=9\)। আবার \(7^2 - 2 = 47\) হওয়ায় \(iii\) ও সঠিক। কিন্তু \(ii\) নং ভুল কারণ \(7-2=5\) হওয়া উচিত ছিল।<br>---
২৪. \(a^2 - 3a + 1 = 0\) হলে \(a^2 + \frac{1}{a^2}\) এর মান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 7
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণ থেকে পাই \(a + \frac{1}{a} = 3\)। সুতরাং \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 3^2 - 2 = 7\)।<br>---
২৫. \(a^2 - 3a + 1 = 0\) হলে \(a^2 - \frac{1}{a^2}\) এর মান নির্ণয় কর।
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \(3\sqrt{5}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেহেতু \(a + \frac{1}{a} = 3\), তাই \(a - \frac{1}{a} = \sqrt{3^2 - 4} = \sqrt{5}\)। সুতরাং গুণফল হবে \(3\sqrt{5}\)।<br>---