১. একটি ছক্কা নিক্ষেপে 5 বা তার চেয়ে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \frac{1}{3} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: 5 বা 6 সংখ্যা $ \{5, 6\} $, সম্ভাবনা $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $:
২. একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপে $ 3 $ এর গুণিতক সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \frac{1}{3} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ছক্কায় $ 3 $ এর গুণিতক হলো $ \{3, 6\} $, যার সংখ্যা $ 2 $ টি। মোট ফলাফল $ 6 $ টি, তাই সম্ভাবনা $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $:
৩. দুই টাকার চারটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে, নমুনা বিন্দু কয়টি হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 16
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: একটি মুদ্রার $ 2 $ টি নমুনা বিন্দু থাকলে, $ 4 $ টি মুদ্রার জন্য নমুনা বিন্দু $ 2^4 = 16 $ টি:
৪. একটি থলেতে $ 5 $ টি লাল, $ 6 $ টি সাদা ও $ 7 $ টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল নিলে তা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ \frac{5}{18} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মোট বল $ 5+6+7 = 18 $ টি এবং লাল বল $ 5 $ টি। সম্ভাবনা $ \frac{\text{লাল বল}}{\text{মোট বল}} = \frac{5}{18} $:
৫. সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেকোনো ঘটনার সম্ভাবনা $ 0 $ থেকে $ 1 $ এর মধ্যে থাকে এবং নিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ মান হয় $ 1 $:
৬. একটি নিক্ষিপ্ত মুদ্রার সম্ভাব্য ফলাফল কয়টি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 2
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে কেবল হেড $ (H) $ বা টেল $ (T) $ আসার সম্ভাবনা থাকে, তাই মোট ফলাফল $ 2 $ টি:
৭. অসম্ভব ঘটনার মান সবসময় কত হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 0
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যে ঘটনা ঘটার কোনো সুযোগ নেই তার সম্ভাবনা সবসময় গাণিতিকভাবে $ 0 $ বা শূন্য হয়:
৮. অসম্ভব ঘটনার ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সত্য?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) উপরের সবগুলোই সত্য
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অসম্ভব ঘটনা কখনোই ঘটে না, তাই এর গাণিতিক সম্ভাবনা $ 0 $ এবং এটি সম্ভাবনার সংজ্ঞার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ:
৯. একটি ছক্কা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সত্য?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) সবগুলোই সত্য
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ছক্কায় বিজোড় $ \{1, 3, 5\} $, মৌলিক $ \{2, 3, 5\} $, আর $ 7 $ আসা অসম্ভব, তাই সব উক্তিই সত্য:
১০. দুইটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। উভয় মুদ্রায় হেড $ (H) $ পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ \frac{1}{4} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মোট নমুনা ক্ষেত্র $ \{HH, HT, TH, TT\} $ এবং উভয় হেড পাওয়ার অনুকূল নমুনা বিন্দু কেবল $ \{HH\} $:
১১. দুইটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। কমপক্ষে একটি হেড $ (T) $ পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \frac{3}{4} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: নমুনা বিন্দু $ \{HH, HT, TH, TT\} $। কমপক্ষে একটি হেড আছে $ \{HH, HT, TH\} $, তাই সম্ভাবনা $ \frac{3}{4} $:
১২. একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। দুইটি হেড $ (H) $ ও একটি টেল $ (T) $ পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \frac{3}{8} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মোট নমুনা বিন্দু $ 8 $ টি। অনুকূল ফলাফল $ \{HHT, HTH, THH\} $, তাই সম্ভাবনা $ \frac{3}{8} $:
১৩. একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \frac{7}{8} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কেবল $ \{TTT\} $ তে কোনো হেড নেই, তাই কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা $ 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} $:
১৪. একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। দুইটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \frac{3}{8} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুকূল ফলাফল $ \{TTH, THT, HTT\} $, যা মোট $ 8 $ টি বিন্দুর $ 3 $ টি, সম্ভাবনা $ \frac{3}{8} $:
১৫. একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। কোনো টেল ও কোনো মাথা না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 0
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মুদ্রা নিক্ষেপে হেড বা টেল আসতেই হবে, তাই কোনোটিই না আসা একটি অসম্ভব ঘটনা, যার সম্ভাবনা $ 0 $:
১৬. একটি গ্রামে $ 350 $ জন বিদ্যুৎ, $ 150 $ জন সৌর বিদ্যুৎ এবং $ 115 $ জন কোনো বিদ্যুৎ ব্যবহার করে না। দৈবভাবে একজনকে নির্বাচন করলে বিদ্যুৎ ব্যবহারকারী হওয়ার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \frac{500}{615} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মোট জনসংখ্যা $ 350+150+115 = 615 $। বিদ্যুৎ ব্যবহারকারী $ 350+150 = 500 $, সম্ভাবনা $ \frac{500}{615} $:
১৭. একটি গ্রামে $ 350 $ জন বিদ্যুৎ, $ 150 $ জন সৌর বিদ্যুৎ এবং $ 115 $ জন কোনো বিদ্যুৎ ব্যবহার করে না। সৌর বিদ্যুৎ ব্যবহারকারী না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \frac{465}{615} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মোট $ 615 $ জন, সৌর বিদ্যুৎ ব্যবহারকারী $ 150 $ জন। সৌর বিদ্যুৎ ব্যবহারকারী নয় $ 615-150 = 465 $ জন:
১৮. কোনো পরীক্ষার সকল সম্ভাব্য ফলাফল জানা থাকলেও নির্দিষ্ট প্রচেষ্টার ফলাফল অজানা থাকলে তাকে কী বলে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) দৈব পরীক্ষা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ফলাফলের সম্ভাবনা নিশ্চিত থাকলেও নির্দিষ্ট প্রচেষ্টায় কী আসবে তা পূর্বনির্ধারিত নয়, তাই এটি দৈব পরীক্ষা:
১৯. একটি মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষায় নমুনা বিন্দু কী কী?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) (H, T)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মুদ্রা নিক্ষেপে কেবলমাত্র হেড $ (H) $ ও টেল $ (T) $ আসার সম্ভাবনা থাকে, যা নমুনা ক্ষেত্র:
২০. একটি ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যার সেটটি কোন ধরণের ঘটনা?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) ঘটনা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: নমুনা ক্ষেত্রের যেকোনো উপসেটকে গাণিতিক ভাষায় ঘটনা বলা হয়, এখানে জোড় সংখ্যা একটি ঘটনা:
২১. মুদ্রা নিক্ষেপে হেড ও টেলের আসার সম্ভাবনা সমান হলে ঘটনাটিকে কী বলে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) সমসম্ভাব্য ঘটনা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রতিটি মৌলিক ঘটনার সম্ভাবনা সমান হলে তাকে সমসম্ভাব্য ঘটনা বলা হয়:
২২. মুদ্রা নিক্ষেপে হেড ও টেল আসা কী ধরণের ঘটনা?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) সমসম্ভাব্য
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মুদ্রার দুই পিঠ আসার সম্ভাবনা সমান $ (\frac{1}{2}) $ বলে একে সমসম্ভাব্য ঘটনা বলা হয়:
২৩. দৈব পরীক্ষায় একটি ঘটনার অনুকূল ফলাফলকে কী বলে?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) অনুকূল ফলাফল
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: একটি নির্দিষ্ট ঘটনার স্বপক্ষে যতগুলো ফলাফল থাকে তাকে উক্ত ঘটনার অনুকূল ফলাফল বলে:
২৪. ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল ফলাফল কয়টি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 3
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ছক্কায় জোড় সংখ্যাগুলো হলো $ \{2, 4, 6\} $, যার সংখ্যা $ 3 $ টি:
২৫. ছক্কা নিক্ষেপে $ 6 $ এর গুণিতক পাওয়ার অনুকূল ফলাফল কয়টি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ছক্কায় $ 6 $ এর গুণিতক কেবলমাত্র $ 6 $, তাই অনুকূল ফলাফল $ 1 $ টি: