১. $ |\vec{a}| = 5 $ হলে $ |-3\vec{a}| $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 15
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: স্কেলার গুণনের পর পরম মান সর্বদা ধনাত্মক হয়, তাই $ |-3| \times 5 = 15 $ একক:
২. $ \triangle ABC $ এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ত্রিভুজ বিধি অনুযায়ী একই ক্রমে গৃহীত দুটি বাহুর ভেক্টর যোগফল তৃতীয় বাহুর বিপরীত দিকের ভেক্টরের সমান হয়:
৩. $ \vec{AB} $ ভেক্টরের বিপরীত বা ঋণাত্মক ভেক্টর কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \vec{BA} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আদিবিন্দু ও প্রান্তবিন্দু পরিবর্তন করলে ভেক্টরের দিক সম্পূর্ণ বিপরীত হয়, তাই $ \vec{AB} = -\vec{BA} $ লেখা যায়:
৪. $ \vec{u} = m\vec{v} $ হলে $ \vec{u} $ ও $ \vec{v} $ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা কীরূপ হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) সমান্তরাল বা অভিন্ন
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: একটি ভেক্টর অপরটির স্কেলার গুণিতক হলে জ্যামিতিকভাবে তাদের ধারক রেখা সর্বদা সমান্তরাল অথবা একই সরলরেখায় অবস্থিত হয়:
৫. $ A $ ও $ B $ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $ \vec{a} $ ও $ \vec{b} $ হলে $ \vec{AB} $ সমান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \vec{b} - \vec{a} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞানুসারে যেকোনো ভেক্টর $ \vec{AB} $ হলো তার প্রান্তবিন্দু ও আদিবিন্দুর অবস্থান ভেক্টরের গাণিতিক বিয়োগফল:
৬. $ \vec{a} $ ও $ \vec{b} $ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয়ে প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টরের যোগফলকে $ 2 $ দ্বারা ভাগ করতে হয়, যা গড় নির্দেশ করে:
৭. কোনো রেখাংশকে $ m:n $ অনুপাতে অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অন্তর্বিভক্তির ক্ষেত্রে $ \vec{c} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} $ সূত্রটি ব্যবহৃত হয়, যেখানে অনুপাতটি $ m:n $ আকারে থাকে:
৮. মূলবিন্দু $ O $ এর সাপেক্ষে কোনো বিন্দু $ P $ এর অবস্থান ভেক্টর কী দ্বারা প্রকাশ করা হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \vec{OP} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মূলবিন্দু থেকে নির্দিষ্ট বিন্দুর দিকে নির্দেশিত ভেক্টরকেই অবস্থান ভেক্টর বলা হয়, যাকে $ \vec{OP} $ দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
৯. $ \vec{AA} $ বা $ \vec{BB} $ কোন ধরনের ভেক্টর নির্দেশ করে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) শূন্য ভেক্টর
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আদিবিন্দু ও প্রান্তবিন্দু একই হলে ভেক্টরটির কোনো সরণ থাকে না, তাই এর মান $ 0 $ বা শূন্য ভেক্টর হয়:
১০. কোনো অশূন্য ভেক্টর $ \vec{a} $ এর দিকে একক ভেক্টর কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কোনো ভেক্টরকে তার নিজস্ব পরম মান দ্বারা ভাগ করলে ঐ ভেক্টরের দিকে একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়:
১১. সামান্তরিক $ ABCD $ এর ক্ষেত্রে ভেক্টর যোগের সামান্তরিক বিধি অনুযায়ী $ \vec{AB} + \vec{AD} $ সমান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ \vec{AC} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা নির্দেশিত ভেক্টরের যোগফল ঐ বিন্দু থেকে অঙ্কিত কর্ণের ভেক্টর $ \vec{AC} $ এর সমান:
১২. $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $ সমীকরণটি ভেক্টর যোগের কোন বিধি নির্দেশ করে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) বিনিময় বিধি
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভেক্টরগুলোর স্থান বা ক্রম পরিবর্তন করে যোগ করলেও লব্ধি অপরিবর্তিত থাকে, একে ভেক্টর যোগের বিনিময় বিধি বলে:
১৩. $ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) $ সমীকরণটি ভেক্টর যোগের কোন বিধি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) সংযোগ বিধি
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: তিনটি ভেক্টর যোগ করার ক্ষেত্রে ব্র্যাকেট বা গ্রুপিং পরিবর্তন করার এই গাণিতিক নিয়মকে সংযোগ বিধি বলা হয়:
১৪. স্কেলার গুণনের ক্ষেত্রে $ m(\vec{a} + \vec{b}) = m\vec{a} + m\vec{b} $ কোন বিধি নির্দেশ করে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) বন্টন বিধি
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: একটি স্কেলার রাশি দিয়ে ভেক্টরের যোগফলকে গুণ করলে তা প্রতিটি ভেক্টরের সাথে আলাদাভাবে বণ্টিত হয়, এটি বন্টন বিধি:
১৫. $ \vec{u} $ ও $ \vec{v} $ পরস্পর সমান ভেক্টর হলে $ \vec{u} - \vec{v} $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) শূন্য ভেক্টর
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দুটি সমান ভেক্টরের বিয়োগফল গাণিতিকভাবে একটি শূন্য ভেক্টর তৈরি করে, যার মান শূন্য এবং দিক অনির্ণেয়:
১৬. অবস্থান ভেক্টরের সূত্রানুযায়ী $ \vec{OA} - \vec{OB} $ সমান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \vec{BA} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজ বিধি অনুযায়ী $ \vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} $, যেখানে $ O $ হলো প্রসঙ্গ মূলবিন্দু:
১৭. ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার প্রতিটি মধ্যমাকে শীর্ষ থেকে ভূমির দিকে কী অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ 2:1 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেকোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে জ্যামিতিকভাবে সর্বদা $ 2:1 $ অনুপাতে বিভক্ত করে থাকে, এটি একটি ধ্রুবক অনুপাত:
১৮. $ \triangle ABC $ এর ভরকেন্দ্র $ G $ হলে, $ \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) শূন্য ভেক্টর
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র থেকে তিনটি শীর্ষবিন্দুর দিকে অঙ্কিত ভেক্টরগুলোর লব্ধি জ্যামিতিক সাম্যাবস্থার কারণে সর্বদা শূন্য ভেক্টর হয়:
১৯. $ \vec{a} $ ও $ \vec{b} $ সমরেখ বা সমান্তরাল না হলে এবং $ x\vec{a} + y\vec{b} = \vec{0} $ হলে $ x $ ও $ y $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ x=0, y=0 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দুটি অসমান্তরাল ভেক্টরের রৈখিক সমাবেশ কেবল তখনই শূন্য হতে পারে যখন তাদের উভয়ের স্কেলার সহগ শূন্য হয়:
২০. $ 3\vec{a} $ ভেক্টরের পরম মান বা দৈর্ঘ্য $ \vec{a} $ ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ 3 $ গুণ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: স্কেলার গুণনের পর ভেক্টরের পরম মান স্কেলারের পরম মান ও আদি ভেক্টরের পরম মানের গুণফল নির্দেশ করে:
২১. $ -2\vec{a} $ ভেক্টরের দিক $ \vec{a} $ ভেক্টরের দিকের সাপেক্ষে কীরূপ?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) বিপরীত দিকে
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কোনো ভেক্টরকে ঋণাত্মক স্কেলার দিয়ে গুণ করলে তার মান পরিবর্তিত হওয়ার পাশাপাশি দিক সম্পূর্ণ বিপরীত হয়ে যায়:
২২. শূন্য ভেক্টরের দিক সম্পর্কে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) অনির্ণেয় বা নির্দিষ্ট নয়
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: শূন্য ভেক্টরের আদিবিন্দু ও প্রান্তবিন্দু একই স্থানে থাকায় এর কোনো নির্দিষ্ট দিক জ্যামিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না:
২৩. $ |\vec{a}| = 5 $ হলে, ঐ ভেক্টরের দিকে একক ভেক্টরকে কত দিয়ে গুণ করলে $ \vec{a} $ পাওয়া যাবে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ 5 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: একক ভেক্টরের মান $ 1 $, তাই একে মূল ভেক্টরের পরম মান $ 5 $ দিয়ে গুণ করলে আদি ভেক্টরটি ফিরে আসে:
২৪. $ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) শূন্য ভেক্টর
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে একই ক্রমে যোগ করলে সরণ শূন্য হয়, তাই ভেক্টর যোগফল একটি শূন্য ভেক্টর হয়:
২৫. $ ABCD $ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় $ AC $ ও $ BD $ হলে, $ \vec{AB} + \vec{AD} $ সমান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \vec{AC} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের ভেক্টর যোগফল ঐ একই আদিবিন্দু থেকে অঙ্কিত কর্ণের ভেক্টর নির্দেশ করে থাকে: