১. $ f(y) = \frac{2y+1}{y-2} $ দ্বারা বর্ণিত ফাংশনটি কোন মানের জন্য অসংজ্ঞায়িত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $ f(2) $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: হর $ y-2 = 0 $ বা $ y = 2 $ হলে ফাংশনটি অসংজ্ঞায়িত হয়। তাই $ f(2) $ সঠিক।
২. $ f(x) = \frac{x-3}{x-4} $, যেখানে $ x \neq 4 $, এই ফাংশনের জন্য $ f(10) $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \frac{7}{6} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ফাংশনে $ x = 10 $ বসালে পাওয়া যায় $ \frac{10-3}{10-4} = \frac{7}{6} $। এটিই নির্ণেয় মান।
৩. $ F(a) = \sqrt{a-3} $ হলে, $ F(12) $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ 3 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ a = 12 $ বসালে পাই $ F(12) = \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3 $।
৪. $ f(x) = \frac{x}{x-2} $, $ x \neq 2 $ হলে, $ f^{-1}(2) $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ 4 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি $ f^{-1}(2) = x $, তাহলে $ f(x) = 2 $ বা $ \frac{x}{x-2} = 2 $। সমাধান করলে $ x = 4 $।
৫. $ f(x) = \frac{1}{x} $ এর ডোমেন নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভগ্নাংশের হর শূন্য হতে পারে না, তাই $ x = 0 $ বাদে সকল বাস্তব সংখ্যাই এর ডোমেন।
৬. $ f(x) = \frac{x-1}{x} $ ফাংশনের ডোমেন নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে $ x = 0 $ বসালে ফাংশনটি অসংজ্ঞায়িত হয়, তাই ডোমেন হলো $ \mathbb{R} $ থেকে শূন্য বাদ।
৭. $ \{(-3,-3), (-1,1), (0,1)\} $ অন্বয়ের রেঞ্জ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \{-3, 1\} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অন্বয়ের দ্বিতীয় উপাদানগুলোর সেটকে রেঞ্জ বলে। এখানে দ্বিতীয় উপাদানগুলো হলো -৩ এবং ১।
৮. যদি $ S = \{(x, y) : x \in A, y \in A, y = x^2\} $ এবং $ A = \{-1, 0, 1\} $ হয় তবে ডোমেন কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \{-1, 0, 1\} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ A $ এর প্রতিটি মানের বর্গ $ A $ তে বিদ্যমান। তাই ডোমেন হবে পূর্ণ সেট $ A $।
৯. $ F(x) = \sqrt{x-1} $ ফাংশনের ডোমেন নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $ \{x \in \mathbb{R} : x \geq 1\} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বর্গমূলের ভিতরের রাশি $ x-1 \geq 0 $ হতে হবে। অর্থাৎ $ x \geq 1 $ হলে মান বাস্তব হবে।
১০. $ f(x) = \frac{2x+1}{2x-1} $, $ x \neq \frac{1}{2} $ হলে, $ f(-2) $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \frac{3}{5} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ x = -2 $ বসালে পাই $ \frac{2(-2)+1}{2(-2)-1} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5} $।
১১. $ S = \{(4, 3), (5, 10), (6, 5)\} $ অন্বয়ের রেঞ্জ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ \{3, 10, 5\} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: রেঞ্জ হলো অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেট। এখানে রেঞ্জ $ \{3, 10, 5\} $।
১২. $ F(x) = \sqrt{1-x} $ ফাংশনের ডোমেন কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ \{x \in \mathbb{R} : x \leq 1\} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বাস্তব মানের জন্য $ 1-x \geq 0 $ হতে হবে, যা থেকে পাওয়া যায় $ x \leq 1 $।
১৩. $ F(x) = 3x + 1, 0 \leq x \leq 2 $ হলে, উক্ত ফাংশনের রেঞ্জ হবে কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ [1, 7] $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ x = 0 $ হলে $ y = 1 $ এবং $ x = 2 $ হলে $ y = 7 $। তাই রেঞ্জ $ [1, 7] $।
১৪. $ y = F(x) = \frac{1}{x-2} $ হলে, $ x $ এর কোন শর্তে $ F(x) $ এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $ x \neq 2 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: হর শূন্য হতে পারবে না, তাই $ x-2 \neq 0 $ বা $ x \neq 2 $ শর্তে বাস্তব মান পাওয়া যাবে।
১৫. $ F = \{(2, -1), (3, -2), (4, -2)\} $ হলে সঠিক তথ্য কোনটি?<br>i. $ F $ একটি ফাংশন<br>ii. $ F $ ফাংশনটি এক-এক<br>iii. $ F $ অন্বয়ের রেঞ্জ $ \{-1, -2\} $<br>নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রথম উপাদান ভিন্ন হওয়ায় এটি ফাংশন এবং এর দ্বিতীয় উপাদানগুলোর সেট হলো রেঞ্জ।
১৬. $ f(x) = \frac{1}{x-2} $ এর ডোমেন কোনটি?<br>i. $ \{x \in \mathbb{R} : x \neq 2\} $<br>ii. $ \{x \in \mathbb{R} : x > 2 \text{ অথবা } x < 2\} $<br>iii. $ \mathbb{R} \setminus \{2\} $<br>নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: তিনটি প্রকাশই একই অর্থ বহন করে, যা নির্দেশ করে $ x $ এর মান ২ হতে পারবে না।
১৭. যদি $ S = \{(1, -1), (2, -2), (3, -2), (7, -9)\} $ হয় তবে কোনটি সঠিক?<br>i. $ S $ অন্বয়টি একটি ফাংশন<br>ii. $ S $ অন্বয়টি একটি এক-এক ফাংশন<br>iii. $ S $ এর রেঞ্জ $ \{-1, -2, -9\} $<br>নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি ফাংশন হলেও এক-এক নয় কারণ দুটি ভিন্ন ডোমেনের জন্য একই রেঞ্জ (-২) আছে।
১৮. $ f(x) = 2x + 2 $ হলে, $ f^{-1}(0) $ এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $ -1 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি $ 2x+2 = 0 $, সমাধান করলে পাই $ 2x = -2 $ বা $ x = -1 $।
১৯. $ A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} $ এবং $ S = \{(x, y) : x \in A, y \in A, y = x^2\} $ হলে $ S $ এর ডোমেন কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ \{-1, 0, 1\} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে কেবল $ x = -1, 0, 1 $ এর বর্গ $ A $ সেটের অন্তর্ভুক্ত। তাই এগুলোই ডোমেন।
২০. $ S = \{(x, y) : x \in A, y \in A, y = x^2\} $ এবং $ A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} $ হলে নিচের কোনটি $ S $ এর সদস্য?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ (-1, 1) $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ (-1)^2 = 1 $ এবং ১ উপাদানটি $ A $ সেটে আছে, তাই $ (-1, 1) $ অন্বয়ের সদস্য।
২১. $ S = \{(2, 4), (2, 2), (2, 3)\} $ হলে $ S $ এর ডোমেন কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $ \{2\} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ডোমেন হলো ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানের সেট। এখানে প্রথম উপাদান কেবল ২।
২২. $ F(x) = |x-1| $ হলে $ F(-3) $ এর মান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $ 4 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ F(-3) = |-3-1| = |-4| = 4 $। পরম মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
২৩. যখন $ a > 0 $, তখন $ ax+b > 0 $ অসমতাটির সমাধান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ x > -\frac{b}{a} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ ax > -b $ বা $ x > -\frac{b}{a} $। $ a $ ধনাত্মক হওয়ায় চিহ্নের পরিবর্তন হবে না।
২৪. যখন $ a < 0 $, তখন $ ax+b > 0 $ অসমতাটির সমাধান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) $ x < -\frac{b}{a} $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ ax > -b $। যেহেতু $ a $ ঋণাত্মক, তাই $ a $ দিয়ে ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে।
২৫. $ x^2 - 4x + 4 = 0 $ দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়কের মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $ 0 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: নিশ্চায়ক $ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 $।