১. \(2^{x+y} = 1\) এবং \(2^{x-y} = 4\) হলে \(y\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(-1\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(x+y = 0\) এবং \(x-y = 2\)
বিয়োগ করে পাই, \(2y = -2 \Rightarrow y = -1\)
---
২. \(3\sqrt{3}\) এর \(3\) ভিত্তিক লগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(\frac{3}{2}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_3 (3\sqrt{3})\)
\( = \log_3 (3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) \)
\( = \log_3 (3^{1 + \frac{1}{2}}) \)
\( = \log_3 (3^{\frac{3}{2}}) \)
\( = \frac{3}{2} \log_3 3 \)
\( = \frac{3}{2} \times 1 \)
\( = \frac{3}{2} \)
---
৩. \(\log_x 9 = 2\) হলে, \(x\) এর মান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(3\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_x 9 = 2 \Rightarrow x^2 = 9\)
বা, \(x = \sqrt{9}\)
\(\therefore x = 3\) (ভিত্তি ঋণাত্মক হয় না)
---
৪. \(\log_{2\sqrt{2}} 16\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \(\frac{8}{3}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}\)
এবং \(16 = 2^4 = (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{8}{3}}\)
\(\therefore \log_{2\sqrt{2}} (2\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} = \frac{8}{3}\)
---
৫. \(\sqrt{2}\) এর \(\sqrt{2}\) ভিত্তিক লগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(1\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_{\sqrt{2}} \sqrt{2} = 1\)
---
৬. \(\log_3 (\frac{1}{9})\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(-2\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_3 (\frac{1}{3^2}) = \log_3 3^{-2}\)
\(= -2 \log_3 3 = -2\)
---
৭. \(\log_a 100 = 2\) হলে \(a\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(10\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_a 100 = 2 \Rightarrow a^2 = 100\)
\(\therefore a = 10\)
---
৮. \(\log_{10} x = -3\) হলে, \(x\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) \(10^{-3}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_{10} x = -3 \Rightarrow x = 10^{-3}\)
\(= 0.001\)
---
৯. \(\log_{\sqrt{7}} 7\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(2\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_{\sqrt{7}} (\sqrt{7})^2 = 2 \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}\)
\(= 2 \cdot 1 = 2\)
---
১০. \(729\) এর লগ \(6\) হলে, ভিত্তি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(3\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি ভিত্তি \(a\)।
\(\log_a 729 = 6 \Rightarrow a^6 = 729\)
বা, \(a^6 = 3^6 \therefore a = 3\)
---
১১. \(3\) এর \(9\) ভিত্তিক লগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(\frac{1}{2}\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_9 3 = \log_9 (9^{\frac{1}{2}})\)
\(= \frac{1}{2} \log_9 9 = \frac{1}{2}\)
---
১২. \(\log 2 + \log 4 + \log 8 + \dots\) ধারাটির সাধারণ অন্তর কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(\log 2\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধারাটি: \(\log 2 + 2 \log 2 + 3 \log 2 + \dots\)
সাধারণ অন্তর \(= 2 \log 2 - \log 2 = \log 2\)
---
১৩. \(\log_x (\frac{1}{27}) = -3\) হলে, \(x\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(3\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(x^{-3} = \frac{1}{27} \Rightarrow x^{-3} = 3^{-3}\)
\(\therefore x = 3\)
---
১৪. \(\log_{10} (\frac{p}{q}) = ?\)
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(\log_{10} p - \log_{10} q\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: লগারিদমের ভাগের সূত্র: \(\log_a (\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N\)
---
১৫. \(3 \log_{10} 2 + \log_{10} 5\) এর মান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(\log_{10} 40\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_{10} 2^3 + \log_{10} 5 = \log_{10} 8 + \log_{10} 5\)
\(= \log_{10} (8 \cdot 5) = \log_{10} 40\)
---
১৬. \(7\) এর \(7\) ভিত্তিক লগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(1\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভিত্তি ও সংখ্যা সমান হলে লগের মান ১ হয়।
---
১৭. \(\log_a a = 1\) যেখানে শর্ত হলো—
i. \(a > 0\)
ii. \(a \neq 1\)
iii. \(a \geq 0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) i ও ii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: লগের সংজ্ঞানুসারে ভিত্তি \(a > 0\) এবং \(a \neq 1\) হতে হয়।
---
১৮. \(a, b > 0\) এবং \(a, b \neq 1\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
i. \(\log_a M^r = r \log_a M\)
ii. \(\log_a b \times \log_b a = 1\)
iii. \(\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: তিনটিই লগারিদমের মৌলিক ও সঠিক সূত্র।
---
১৯. \(10\) ভিত্তিক লগের ক্ষেত্রে—
i. \(\log 1 = 0\)
ii. \(\log 10 = 1\)
iii. \(\log 100 = 2\)
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(10^0 = 1, 10^1 = 10\) এবং \(10^2 = 100\)। তাই তিনটিই সঠিক।
---
২০. \(\log_a 1\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(0\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেকোনো ভিত্তির সাপেক্ষে \(1\) এর লগ সর্বদা \(0\) হয়।
---
২১. \(a^x = N\) হলে \(N\) এর \(a\) ভিত্তিক লগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(x = \log_a N\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূচকীয় রূপ \(a^x = N\) এর লগারিদমীয় রূপ হলো \(x = \log_a N\)।
---
২২. \(M = a^x, N = a^y\) হলে \(\log_a (MN) = ?\)
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(x+y\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_a (a^x \cdot a^y) = \log_a (a^{x+y}) = x+y\)
---
২৩. \(a^0 = 1\) এর সঠিক লগারিদমীয় সমীকরণ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \(\log_a 1 = 0\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূচকের পাওয়ারটিই লগের মান হিসেবে ডানপাশে যায়।
---
২৪. \(x\) এর মান যাই হোক না কেন, \(a^x\) সর্বদা কী হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) ধনাত্মক
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ঘাত যাই হোক, ভিত্তি ধনাত্মক হলে মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
---
২৫. \(\log_3 81\) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \(4\)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \(\log_3 3^4 = 4 \log_3 3 = 4\)
---