১. \( (2, 2) \) বিন্দুটি মূলবিন্দু থেকে কত দূরে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \sqrt{8} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দূরত্ব \( \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \) একক।
২. চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান কিন্তু কর্ণদ্বয় অসমান হলে তা কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) রম্বস
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: রম্বসের চারটি বাহু সমান কিন্তু কর্ণদ্বয় অসমান হয়, যা বর্গক্ষেত্র থেকে আলাদা বৈশিষ্ট্য:
৩. (0, -1), (2, 2), (-1, 2) এবং (-3, -1) বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 9
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ক্ষেত্রফল \frac{1}{2} |0(2-2) + 2(2-(-1)) + (-1)(-1-(-1)) + (-3)(-1-2)| = 9 বর্গ একক:
৪. যদি চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় সমান হয় তবে চতুর্ভুজটি কী?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) বর্গ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কর্ণদ্বয় সমান এবং পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তা বর্গক্ষেত্র নির্দেশ করে:
৫. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) (বাহু)^2
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গ বা (বাহু)^2:
৬. O(0, 0), A(a, 0), B(a, a), C(0, a) হলে, OABC চতুর্ভুজটির নাম কী?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) বর্গ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সব বাহু সমান এবং কোণগুলো সমকোণ হওয়ায় এটি একটি বর্গক্ষেত্র:
৭. A(-a, 0), B(0, -a), C(a, 0), D(0, a) শীর্ষবিশিষ্ট ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) 2a^2
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি একটি বর্গক্ষেত্র যার কর্ণ \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2} এবং ক্ষেত্রফল \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = 2a^2:
৮. ABCD একটি বর্গক্ষেত্র। \triangle ABC = 2 বর্গ একক হলে, ABCD এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) 4
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কর্ণের অর্ধেক ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 হলে, পুরো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 2 \times 2 = 4 বর্গ একক:
৯. i. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)^2
ii. A(7, 4) ও B(-5, -1) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব 13 একক
iii. তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে, বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আয়তক্ষেত্র ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য গুণ প্রস্থ, দূরত্ব \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 এবং সমরেখ বিন্দুতে ত্রিভুজ ক্ষেত্রফল শূন্য:
১০. i. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)^2
ii. (5, 5), (2, 2) ও (8, 2) বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9 বর্গ একক
iii. আয়তক্ষেত্রের কর্ণ বরাবর দুইভাগ করলে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়
নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) i, ii ও iii
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: তিনটি উক্তিই জ্যামিতিক ধর্ম ও সূত্র অনুযায়ী সত্য:
১১. মূলবিন্দু থেকে \( (x, y) \) বিন্দুর দূরত্ব কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( \sqrt{x^2+y^2} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: মূলবিন্দু \( (0,0) \) থেকে দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো: \( \sqrt{x^2+y^2} \) একক।
১২. \( (3, 0) \) ও \( (0, 4) \) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত একক?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 5 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দূরত্ব \( \sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \) একক।
১৩. \( A(x_1, y_1) \) ও \( B(x_2, y_2) \) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বের সাধারণ সূত্রটি হলো: \( \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \) একক।
১৪. \( (-3, 4) \) বিন্দুটির কোটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 4 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) এ \( y \) হলো কোটি, এখানে কোটি হলো \( 4 \)।
১৫. \( (5, -2) \) বিন্দুটির ভুজ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 5 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: স্থানাঙ্ক \( (x, y) \) এ \( x \) হলো ভুজ, তাই এখানে ভুজ হলো \( 5 \)।
১৬. \( (2, 3) \) ও \( (2, 8) \) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 5 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ভুজ সমান হলে দূরত্ব হয় কোটির অন্তর, অর্থাৎ \( |8-3| = 5 \) একক।
১৭. \( (4, 5) \) ও \( (1, 5) \) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 3 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কোটি সমান হলে দূরত্ব হয় ভুজের অন্তর, অর্থাৎ \( |4-1| = 3 \) একক।
১৮. \( x \) অক্ষের ওপর যেকোনো বিন্দুর কোটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 0 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( x \) অক্ষের ওপর সকল বিন্দুর \( y \) স্থানাঙ্ক বা কোটি সবসময় \( 0 \) হয়।
১৯. \( y \) অক্ষের ওপর যেকোনো বিন্দুর ভুজ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 0 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( y \) অক্ষের ওপর অবস্থিত সকল বিন্দুর \( x \) স্থানাঙ্ক বা ভুজ সবসময় \( 0 \) হয়।
২০. একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \) হলে ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: তিনটি শীর্ষবিন্দু জানা থাকলে ত্রিভুজ ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: \( \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \) বর্গ একক।
২১. \( (0, 0), (4, 0), (0, 3) \) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 6 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল \( \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \) বর্গ একক।
২২. তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 0 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বিন্দুগুলো সমরেখ হলে তারা কোনো ক্ষেত্র তৈরি করতে পারে না, তাই ক্ষেত্রফল সর্বদা \( 0 \) হয়।
২৩. \( (1, 1), (2, 2), (3, 3) \) বিন্দু তিনটি কেমন?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) সমরেখ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( 0 \) হওয়ায় তারা একই সরলরেখায় বা সমরেখ অবস্থানে রয়েছে।
২৪. \( (a, 0), (0, b) \) ও \( (0, 0) \) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \frac{1}{2} ab \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ক্ষেত্রফল \( \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times a \times b \) বর্গ একক।
২৫. \( A(x_1, y_1) \) ও \( B(x_2, y_2) \) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে \( P(x, y) \) বিন্দু \( m_1:m_2 \) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে \( x \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অন্তর্বিভক্তি সূত্রানুসারে \( x \) স্থানাঙ্কটি হলো: \( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2} \) অনুপাত অনুযায়ী বিভাজিত।