১. গুণোত্তর ধারার অনুপাত ঋণাত্মক হলে পদের চিহ্নের কী পরিবর্তন হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) পর্যায়ক্রমে পাল্টায়
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাত ঋণাত্মক হলে একটি পদ ধনাত্মক এবং পরবর্তী পদটি ঋণাত্মক হয়। এভাবে ধারার প্রতিটি পদের চিহ্ন অল্টারনেট বা পরিবর্তিত হতে থাকে।
২. সমান্তর ধারার \( n \) তম পদ নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( a + (n - 1)d \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে প্রথম পদ \( a \) এবং সাধারণ অন্তর \( d \) হলে ধারাটির \( n \) তম পদের মান বের করার জন্য আমরা \( a + (n - 1)d \) সূত্রটি ব্যবহার করি। এখানে \( n \) হলো পদের অবস্থান যা সর্বদা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হিসেবে বিবেচিত হয়।<br>---
৩. \( 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 100 = \) কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 5050 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রথম 100 টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য আমরা \( \frac{n(n+1)}{2} \) সূত্রটি প্রয়োগ করি। এখানে \( n = 100 \) বসালে হিসাবটি দাঁড়ায় \( \frac{100 \times 101}{2} \) যা সরল করলে আমরা ফলাফল হিসেবে \( 5050 \) পাই।<br>---
৪. \( 6 + 9 + 12 + ....... \) ধারাটির কততম পদ \( 93 \)?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 30 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে প্রথম পদ \( a = 6 \) এবং সাধারণ অন্তর \( d = 3 \)। আমরা জানি সমান্তর ধারার পদের মান বের করার নিয়ম অনুযায়ী \( 6 + (n - 1)3 = 93 \) হতে হবে। এটি সমাধান করলে \( 3n - 3 = 87 \) বা \( 3n = 90 \) পাওয়া যায় যেখান থেকে \( n = 30 \) আসে।<br>---
৫. \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4} ....... \) অনুক্রমটির সাধারণ পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{n}{n+1} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এই অনুক্রমটি লক্ষ্য করলে দেখা যায় লবের মান যা হরের মান তার চেয়ে ঠিক 1 বেশি। যদি লব \( n \) হয় তবে হর হবে \( n + 1 \)। তাই অনুক্রমটির সাধারণ গাণিতিক রূপ দাঁড়ায় \( \frac{n}{n+1} \) যেখানে \( n \) এর মান এক থেকে শুরু হয়।<br>---
৬. \( 3 + 5 + 7 + ........ \) ধারাটির ১০ম পদ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 21 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ \( a = 3 \) এবং সাধারণ অন্তর \( d = 2 \)। 10ম পদ বের করার জন্য আমরা \( 3 + (10 - 1) \times 2 \) সূত্রটি ব্যবহার করব। হিসাব করলে \( 3 + 18 \) থেকে আমরা চূড়ান্ত উত্তর হিসেবে \( 21 \) পাই।<br>---
৭. \( 4 + 8 + 12 + 16 ...... \) ধারাটির কোন পদ \( 480 \)?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 120 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে ধারাটির প্রথম পদ \( a = 4 \) এবং সাধারণ অন্তর \( d = 4 \)। ধরি \( n \) তম পদটি \( 480 \)। তাহলে \( 4 + (n - 1)4 = 480 \) বা \( 4n = 480 \) সম্পর্কটি তৈরি হয়। এখান থেকে \( n \) এর মান বের করলে তা \( 120 \) হয়।<br>---
৮. \( 8 + 14 + 20 + 26 + ......... \) ধারাটির প্রথম 8 টি পদের সমষ্টি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 232 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র \( Sn = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\} \) ব্যবহার করি। এখানে \( n = 8 \), \( a = 8 \) এবং \( d = 6 \)। মানগুলো বসালে আমরা \( 4 \{16 + 42\} \) বা \( 4 \times 58 \) পাই যা গুণ করলে \( 232 \) হয়।<br>---
৯. একটি সমান্তর ধারার \( n \) তম পদ \( 5n + 3 \) হলে এর সাধারণ অন্তর কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 5 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কোনো ধারার সাধারণ পদ দেওয়া থাকলে সাধারণ অন্তর বের করার সহজ উপায় হলো \( n \) এর সহগ দেখা। অথবা প্রথম পদ \( 5(1) + 3 = 8 \) এবং দ্বিতীয় পদ \( 5(2) + 3 = 13 \) বের করে তাদের পার্থক্য নিলেও উত্তর \( 5 \) পাওয়া যায়।<br>---
১০. স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার \( n \) তম পদ নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 2n \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: জোড় সংখ্যা বলতে আমরা 2 এর গুণিতকগুলোকে বুঝি যেমন ২, ৪, ৬ ইত্যাদি। \( n \) এর মান 1, 2, 3 বসিয়ে দেখা যায় যে প্রতিটি ক্ষেত্রে \( 2n \) সঠিক জোড় সংখ্যাটি প্রদান করছে। তাই স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার অনুক্রমের সাধারণ রূপ হলো \( 2n \)।<br>---
১১. \( 5 + 9 + 13 + ....... \) এর ৫ম পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 21 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধারাটির প্রথম পদ \( a = 5 \) এবং সাধারণ অন্তর \( d = 4 \)। ৫ম পদ বের করার জন্য আমরা \( 5 + (5 - 1) \times 4 \) নিয়মটি অনুসরণ করব। হিসাবটি সম্পন্ন করলে \( 5 + 16 \) পাওয়া যায় যা যোগ করলে সঠিক উত্তর হয় \( 21 \)।<br>---
১২. \( 3 + 6 + 12 + 24 + .......... \) ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 381 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার সাধারণ অনুপাত \( r = 2 \)। সমষ্টির সূত্র \( \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \) এ মান বসালে আমরা \( \frac{3(2^7 - 1)}{2 - 1} \) পাই। সরল করলে \( 3 \times (128 - 1) \) বা \( 3 \times 127 \) হয় যার মান \( 381 \)।<br>---
১৩. \( 4 + 6 + 8 + ............ \) একটি ধারা হলে এর 12-তম পদ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 26 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে ধারাটির প্রথম পদ \( a = 4 \) এবং সাধারণ অন্তর \( d = 2 \)। ১২-তম পদ বের করার জন্য আমরা \( 4 + (12 - 1) \times 2 \) সূত্রটি ব্যবহার করি। এটি হিসাব করলে \( 4 + 22 \) থেকে আমাদের কাঙ্ক্ষিত উত্তর হিসেবে \( 26 \) পাওয়া যায়।<br>---
১৪. \( 4 + 6 + 8 + ............ \) ধারাটির প্রথম 10 টি পদের সমষ্টি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 130 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমষ্টির সূত্র অনুযায়ী আমরা পাই \( \frac{10}{2} \{2 \times 4 + (10 - 1) \times 2\} \)। এটি সরল করলে \( 5 \times \{8 + 18\} \) বা \( 5 \times 26 \) দাঁড়ায়। চূড়ান্ত গুণফল হিসেবে আমরা এই ধারার প্রথম 10টি পদের সমষ্টি হিসেবে \( 130 \) পাই।<br>---
১৫. \( 2 + 5 + 8 + 11 + ............ \) ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 3 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর বের করার জন্য যেকোনো পদ থেকে তার ঠিক পূর্ববর্তী পদটি বিয়োগ করতে হয়। এখানে দ্বিতীয় পদ 5 থেকে প্রথম পদ 2 বিয়োগ করলে 3 পাওয়া যায়। একইভাবে তৃতীয় পদ 8 থেকে দ্বিতীয় পদ 5 বিয়োগ করলেও উত্তর ৩ ই থাকে।<br>---
১৬. \( 2 + 5 + 8 + 11 + ............ \) ধারাটির দশম পদ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 29 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধারাটির প্রথম পদ \( a = 2 \) এবং সাধারণ অন্তর \( d = 3 \)। দশম পদ নির্ণয়ের জন্য \( 2 + (10 - 1) \times 3 \) এই গাণিতিক সূত্রটি ব্যবহার করি। হিসাব করলে \( 2 + 27 \) পাওয়া যায় যা আমাদের সঠিক উত্তর হিসেবে \( 29 \) প্রদান করে থাকে।<br>---
১৭. \( 2 + 5 + 8 + 11 + ............ \) ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 100 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে \( n = 8 \), \( a = 2 \) এবং \( d = 3 \)। সমষ্টির সূত্র \( \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\} \) এ মান বসালে আমরা \( 4 \{4 + 21\} \) বা \( 4 \times 25 \) পাই। সুতরাং এই ধারার প্রথম 8টি পদের যোগফল হবে ঠিক 100 যা সঠিক উত্তর।<br>---
১৮. কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 2 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে \( n \) তম পদ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 3n - 1 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমান্তর ধারার \( n \) তম পদের সূত্র \( a + (n - 1)d \) এ প্রদত্ত মানগুলো বসাই। এখানে \( 2 + (n - 1)3 \) সরল করলে \( 2 + 3n - 3 \) হয়। শেষ পর্যন্ত রাশিটি \( 3n - 1 \) এ পরিণত হয় যা এই ধারার জন্য সঠিক সাধারণ পদ।<br>---
১৯. ১ম পদ 2 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে প্রথম 8টি পদের যোগফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 100 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানেও আমরা সমষ্টির প্রমিত সূত্রটি ব্যবহার করব যেখানে \( n = 8 \), \( a = 2 \) এবং \( d = 3 \)। মানগুলো বসালে \( 4 \{4 + 21\} \) পাওয়া যায় যা সরল করলে \( 4 \times 25 = 100 \) হয়। এই প্রক্রিয়ার মাধ্যমে যেকোনো নির্দিষ্ট পদের সমষ্টি বের করা সম্ভব।<br>---
২০. নিচের কোনটি একটি অসীম অনুক্রমের সঠিক উদাহরণ?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 1, 3, 5, 7, .......... \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুক্রমের শেষে যদি ডট ডট চিহ্ন থাকে এবং কোনো শেষ পদ উল্লেখ না থাকে তবে তাকে অসীম অনুক্রম বলে। বিকল্প 'A' তে নির্দিষ্ট নিয়মে পদগুলো বাড়ছে এবং এটি অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত। বাকি বিকল্পগুলোতে হয় শেষ পদ আছে অথবা পদগুলো কোনো সঠিক নিয়ম মেনে চলছে না।<br>---
২১. \( 2, 4, 6, ....... \) অনুক্রমটির সাধারণ পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 2n \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এই অনুক্রমটি স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার সেট নির্দেশ করে যেখানে প্রতিটি পদ তার অবস্থানের দ্বিগুণ। যদি আমরা \( n = 1, 2, 3 \) বসাই তবে \( 2n \) থেকে যথাক্রমে 2, 4, 6 পাওয়া যায়। এই গাণিতিক সম্পর্কের কারণেই \( 2n \) কে এই অনুক্রমের সাধারণ পদ বলা হয়ে থাকে।<br>---
২২. \( 1, 4, 9, ....... \) অনুক্রমের সাধারণ পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( n^2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুক্রমটির পদগুলো হলো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ যেমন 1 এর বর্গ 1, 2 এর বর্গ 4 এবং 3 এর বর্গ 9। এখানে প্রতিটি পদের মান তার অবস্থানের বর্গের সমান হচ্ছে। তাই আমরা বলতে পারি যে এই অনুক্রমের সাধারণ বা \( n \) তম পদটি হলো \( n^2 \)।<br>---
২৩. \( < 2n > \) অনুক্রমটি নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 2, 4, 6, 8, ............ \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে সাধারণ পদ \( 2n \) দেওয়া আছে যেখানে \( n \) এর মান স্বাভাবিক সংখ্যা 1 থেকে শুরু হয়। \( n \) এর মান পর্যায়ক্রমে বসালে আমরা 2, 4, 6, 8 এভাবে একটি অসীম অনুক্রম পাই। এটি মূলত একটি সমান্তর অনুক্রম যার সাধারণ অন্তর হলো 2।<br>---
২৪. \( < \frac{1}{n} > \) অনুক্রমটির জন্য নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ............ \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সাধারণ পদ \( \frac{1}{n} \) এ \( n = 1, 2, 3 \) ইত্যাদি বসালে আমরা অনুক্রমের পদগুলো খুঁজে পাই। প্রথম পদ \( 1/1 = 1 \), দ্বিতীয় পদ \( 1/2 \) এবং তৃতীয় পদ \( 1/3 \) এভাবে পদগুলো গঠিত হয়। এটি একটি অসীম গুণোত্তর অনুক্রম নয় বরং একটি সাধারণ বিপরীতধর্মী অনুক্রম।<br>---
২৫. \( < \frac{n-1}{n+1} > \) অনুক্রমের তৃতীয় ও দ্বিতীয় পদের পার্থক্য কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \frac{1}{6} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় পদ \( n=2 \) বসালে \( 1/3 \) এবং তৃতীয় পদ \( n=3 \) বসালে \( 2/4 = 1/2 \) পাওয়া যায়। এখন তাদের পার্থক্য \( 1/2 - 1/3 \) বের করলে লসাগু হয় 6 এবং বিয়োগফল দাঁড়ায় \( 1/6 \)। এই ধরণের সমস্যা সমাধানের জন্য পদের মান আগে বের করে নেওয়া জরুরি।<br>---
এই অধ্যায়ের আরও পরীক্ষা দিতে চাও?
অনুচর্চা অ্যাপে সময় ধরে লাইভ পরীক্ষা দাও এবং লিডারবোর্ডে বন্ধুদের সাথে মেধার লড়াই করো!
Google Play থেকে "অনুচর্চা" ইনস্টল করুনশিক্ষকদের জন্য: ১ ক্লিকে প্রশ্ন তৈরি ও OMR সফটওয়্যার
বোর্ড প্রশ্ন দিয়ে নিমেষেই ২ কলাম A4 প্রশ্নপত্র প্রিন্ট করুন।