১. \( ax + by = c \) এবং \( px + qy = r \) সমীকরণজোটটি কখন সমঞ্জস হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} \) হলে
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমঞ্জস হওয়ার প্রধান শর্ত হলো চলকদ্বয়ের সহগ অনুপাত অসমান হতে হবে। এটি নিশ্চিত করে যে লেখচিত্রের রেখাদ্বয় সমান্তরাল নয় এবং তারা ছেদ করবে। এই শর্তটি পূরণ হলেই কেবল সমীকরণজোটের একটি অনন্য সমাধান পাওয়া সম্ভব। গাণিতিক বিশ্লেষণে সমাধানযোগ্যতা যাচাই করার এটিই সবচেয়ে সহজ এবং প্রাথমিক নিয়ম।<br>---
২. \( a_1x + b_1y = c_1 \) এবং \( a_2x + b_2y = c_2 \) জোটে সহগগুলো কী?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( a_1, a_2, b_1, b_2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: চলকের সাথে গুণ আকারে যে স্থির রাশিগুলো থাকে তাদের গণিতের ভাষায় সহগ বা কো-এফিসিয়েন্ট বলা হয়। এখানে \( x \) এর সহগগুলো হলো \( a_1, a_2 \) এবং \( y \) এর সহগগুলো হলো \( b_1, b_2 \)। এগুলো সমীকরণের ঢাল এবং অবস্থান নির্ধারণ করতে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে থাকে। চলকের মান পরিবর্তনে সহগগুলোর গাণিতিক প্রভাব অত্যন্ত শক্তিশালী ও অনস্বীকার্য।
৩. \( a_1x + b_1y = c_1 \) এবং \( a_2x + b_2y = c_2 \) সমীকরণজোটে \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) হলে সমাধান কয়টি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) সমাধান নেই
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এই শর্তটি গাণিতিকভাবে নির্দেশ করে যে সমীকরণ দুটির লেখচিত্র পরস্পর সমান্তরাল হবে। সমান্তরাল রেখাগুলো কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না বিধায় কোনো সাধারণ বিন্দু পাওয়া যায় না। ছেদবিন্দু না থাকায় এই ধরণের সমীকরণজোটের কোনো গাণিতিক সমাধান বের করা সম্ভব নয়। এটি অসমঞ্জস বা অসংগতিপূর্ণ সমীকরণ জোটের একটি আদর্শ উদাহরণ হিসেবে পরিচিত।<br>---
৪. \( 2x - 3y = 7 \) এবং \( 6x - 9y = 21 \) জোটের ক্ষেত্রে সহগ অনুপাত কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \frac{1}{3} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে চলক \( x \) এর সহগ অনুপাত হলো \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) এবং \( y \) এর সহগ অনুপাত \( \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \)। যেহেতু সমীকরণের সব পদের অনুপাত সমান তাই এটি একটি নির্ভরশীল সমীকরণ জোট। এ ধরণের জোটে একটি সমীকরণ মূলত অন্যটির একটি পরিবর্তিত গুণিতক রূপ মাত্র। লব ও হরকে কাটাকাটি করলে আমরা চূড়ান্ত অনুপাত হিসেবে \( \frac{1}{3} \) পাই।<br>---
৫. \( x + y = 10 \) এবং \( x - y = 4 \) হলে \( x \) এর মান নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 7 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটিকে যোগ করলে আমরা পাই \( 2x = 14 \) যা একটি এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ। উভয় পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করলে খুব সহজেই \( x = 7 \) মানটি পাওয়া যায়। এই মানটি যেকোনো একটি সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করলে আমরা \( y = 3 \) খুঁজে পাই। সুতরাং এই গাণিতিক সমস্যার জন্য \( x \) এর সঠিক এবং নির্দিষ্ট মান হলো 7।<br>---
৬. \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) শর্তে সমীকরণজোটটি কেমন হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) সমঞ্জস ও অনির্ভরশীল
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: চলকদ্বয়ের সহগের অনুপাত পরস্পর অসমান হওয়া মানে রেখা দুটি সমান্তরাল নয়। এর ফলে লেখচিত্রে রেখা দুটি অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট সাধারণ বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করবে। এই ছেদবিন্দুর উপস্থিতির কারণেই জোটটিকে সমঞ্জস এবং একটি অন্যটির ওপর নির্ভরশীল নয় বলে অনির্ভরশীল বলা হয়। এমন অবস্থায় সর্বদা একটি মাত্র সমাধান বা অনন্য সমাধান পাওয়া যায়।<br>---
৭. \( a_1x + b_1y = 0 \) এবং \( a_2x + b_2y = 0 \) জোটের সাধারণ সমাধান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( (0, 0) \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেহেতু সমীকরণ দুটিতে কোনো ধ্রুবক পদ নেই সেহেতু উভয় রেখাই মূলবিন্দু দিয়ে যাবে। মূলবিন্দু বা \( (0, 0) \) স্থানাঙ্কটি উভয় সমীকরণকে সর্বদা গাণিতিকভাবে সিদ্ধ করে থাকে। ধ্রুবক পদহীন যেকোনো সরল সহসমীকরণের ক্ষেত্রে এটি একটি চিরন্তন ও সাধারণ বৈশিষ্ট্য। তাই এই ধরণের জোটের জন্য মূলবিন্দুই হয় প্রাথমিক এবং প্রধান সমাধান।<br>---
৮. সরল সহসমীকরণে চলক \( x \) ও \( y \) এর সর্বোচ্চ ঘাত বা পাওয়ার কত হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 1 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সরল সমীকরণ কথাটির অর্থই হলো চলকগুলোর ঘাত সর্বদা এক বা \( 1 \) হতে হবে। ঘাত এক হলে লেখচিত্রে সমীকরণটি একটি সোজা বা ঋজু সরলরেখা নির্দেশ করে থাকে। যদি চলকের ঘাত এক এর বেশি বা কম হয় তবে সেটি আর সরলরেখা থাকে না। এই অধ্যায়ের সকল গাণিতিক সমস্যার মূল ভিত্তিই হলো এই একঘাতী বা সরল সমীকরণ।<br>---
৯. \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \) সমীকরণটিকে ভগ্নাংশমুক্ত করলে কোনটি পাওয়া যাবে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 3x + 2y = 6 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণটির হরগুলোর লসাগু বা এলসিএম হলো ৬ যা দিয়ে উভয় পক্ষকে গুণ করতে হয়। গুণ করার পর আমরা পাই \( 3x + 2y = 6 \) যা একটি পূর্ণসংখ্যার সরল সমীকরণ। ভগ্নাংশমুক্ত করার এই পদ্ধতিটি সমীকরণ সমাধান করার কাজকে অনেক বেশি সহজ করে দেয়। এটি বীজগাণিতিক সরলীকরণের একটি অতি প্রয়োজনীয় এবং সাধারণ নিয়ম হিসেবে ব্যবহৃত হয়।<br>---
১০. \( 4x + 5y = 12 \) এবং \( 8x + 10y = 20 \) জোটের প্রকৃতি কেমন?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) অসমঞ্জস
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এখানে সহগ অনুপাতগুলো হলো \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) এবং \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) যা পরস্পর সমান। কিন্তু ধ্রুবক পদের অনুপাত \( \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \) সহগ অনুপাতের সাথে মিলছে না। যখন সহগ অনুপাত সমান হয় কিন্তু ধ্রুবক ভিন্ন হয় তখন জোটটি অসমঞ্জস হয়। অসংগতিপূর্ণ এই জোটের রেখাদ্বয় সমান্তরাল হওয়ায় এদের কোনো সাধারণ সমাধান নেই।<br>---
১১. দুই চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণজোটে সাধারণত কয়টি সমীকরণ থাকে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) দুইটি
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গণিতের নিয়ম অনুযায়ী যতটি অজ্ঞাত চলক থাকে ততটি সমীকরণের প্রয়োজন হয়। যেহেতু এখানে চলক \( x \) ও \( y \) মোট দুইটি সেহেতু যুগপৎ সমাধানের জন্য দুইটি সমীকরণ লাগে। এই সমীকরণদ্বয়কে একত্রে একটি গাণিতিক জোট বা সিস্টেম অফ ইকুয়েশন বলা হয়ে থাকে। যথাযথ মান বের করার জন্য এই দুটি সমীকরণের উপস্থিতি এই অধ্যায়ে বাধ্যতামূলক।<br>---
১২. \( x - y = 0 \) সমীকরণটি নিচের কোন বিন্দুগামী নয়?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( (2, 3) \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণটিতে \( x - y = 0 \) হওয়ার অর্থ হলো \( x \) ও \( y \) এর মান সমান হতে হবে। বিকল্পগুলোর মধ্যে বিন্দু \( (2, 3) \) এ ভুজ ও কোটি পরস্পর সমান নয়। মানগুলো সমীকরণে বসালে আমরা \( 2 - 3 = -1 \) পাই যা শূন্যের সমান নয়। তাই এই বিন্দুটি সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না এবং এটি ওই রেখার ওপর অবস্থিত নয়।<br>---
১৩. \( 2x + y = 8 \) সমীকরণে \( x = 3 \) হলে \( y \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণে \( x \) এর জায়গায় ৩ বসালে আমরা পাই \( 2(3) + y = 8 \) বা \( 6 + y = 8 \)। পক্ষান্তর করার পর বিয়োগ করলে \( y = 8 - 6 \) অর্থাৎ মান ২ পাওয়া যায়। এই মানটি সমীকরণের ডানপক্ষ ও বামপক্ষের সমতা বজায় রাখতে সঠিকভাবে সাহায্য করে থাকে। সুতরাং চলক \( y \) এর জন্য নির্দিষ্ট ও সঠিক গাণিতিক ফলাফল হলো ২।<br>---
১৪. সমীকরণজোটের যুগপৎ সমাধান নির্ণয়ের লৈখিক পদ্ধতি বলতে কী বোঝায়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) গ্রাফ বা লেখচিত্রের ব্যবহার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: লৈখিক পদ্ধতি হলো ছক কাগজে সমীকরণ দুটির জন্য পৃথক দুটি সরলরেখা অঙ্কন করা। রেখা দুটি যে নির্দিষ্ট বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে তার স্থানাঙ্কই হলো কাঙ্ক্ষিত সমাধান। এটি জ্যামিতিক ভাবে বীজগাণিতিক সমস্যা সমাধান করার একটি অত্যন্ত চমৎকার এবং দৃশ্যমান উপায়। গ্রাফের মাধ্যমে চলকের মান বের করার এই প্রক্রিয়াটি শিক্ষার্থীদের কাছে বেশ জনপ্রিয়।<br>---
১৫. \( x + 3y = 6 \) সমীকরণটি \( y \)-অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( (0, 2) \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কোনো রেখা \( y \)-অক্ষকে ছেদ করলে ওই বিন্দুতে \( x \) এর মান সর্বদা শূন্য হয়। সমীকরণে \( x = 0 \) বসালে আমরা পাই \( 3y = 6 \) যেখান থেকে \( y = 2 \) বের হয়। সুতরাং \( y \)-অক্ষের ওপর ছেদবিন্দুটির সঠিক স্থানাঙ্ক হবে ভুজ শূন্য ও কোটি ২ বা \( (0, 2) \)। এটি স্থানাঙ্ক জ্যামিতির একটি অতি সাধারণ এবং মৌলিক গাণিতিক নিয়ম।<br>---
১৬. নিচের কোনটি \( 3x - y = 5 \) এবং \( x + y = 3 \) জোটের সমাধান?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( (2, 1) \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটি যোগ করলে আমরা পাই \( 4x = 8 \) যেখান থেকে \( x = 2 \) পাওয়া যায়। এখন প্রাপ্ত মানটি দ্বিতীয় সমীকরণে বসালে \( 2 + y = 3 \) বা \( y = 1 \) হয়। সুতরাং ছেদবিন্দু বা সাধারণ সমাধান জোড়টি হলো \( (2, 1) \) যা উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে। উভয় মান সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় গাণিতিক সমতা বজায় রয়েছে।<br>---
১৭. \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \) কিন্তু \( c_1 \) ও \( c_2 \) শূন্য হলে জোটটি কেমন?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) সমঞ্জস ও নির্ভরশীল
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধ্রুবক পদ শূন্য হওয়া মানে রেখা দুটি অবশ্যই মূলবিন্দু \( (0, 0) \) দিয়ে অতিক্রম করবে। আবার সহগ অনুপাত সমান হওয়ায় রেখা দুটি লেখচিত্রে একটির ওপর অন্যটি সমাপতিত হয়ে যাবে। এর ফলে জোটটি সমাধানযোগ্য বা সমঞ্জস হবে এবং এদের মধ্যে একটি নির্ভরশীল সম্পর্ক তৈরি হবে। এমন গাণিতিক অবস্থায় সমীকরণ জোটের জন্য আমরা আজীবন অসংখ্য সমাধান পেয়ে থাকি।<br>---
১৮. \( x - 2y = 8 \) এবং \( 3x - 2y = 4 \) সমীকরণজোটে \( x \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( -2 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে আমরা পাই \( -2x = 4 \) বা \( x = -2 \)। বিয়োগ করার সময় চলক \( y \) অপসারিত হয় বলে এই পদ্ধতিটি অপনয়ন পদ্ধতি নামে পরিচিত। মানটি সমীকরণে বসিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় এটি গাণিতিক ভাবে সম্পূর্ণ সঠিক ফলাফল দিচ্ছে। সুতরাং চলক \( x \) এর জন্য নির্দিষ্ট উত্তরটি হলো ঋণাত্মক দুই বা \( -2 \)।<br>---
১৯. সরল সহসমীকরণের আড়গুণন পদ্ধতির অপর নাম কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) বজ্রগুণন
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আড়গুণন পদ্ধতিতে আমরা কোণাকুণি গুণ করার মাধ্যমে চলকগুলোর মান নির্ণয় করার সূত্র পাই। এই আড়াআড়ি গুণ করার বিশেষ কৌশলের কারণেই একে বাংলা গণিতে বজ্রগুণন পদ্ধতি বলা হয়। এটি জটিল সহগযুক্ত সমীকরণ দ্রুত সমাধান করার জন্য একটি অত্যন্ত শক্তিশালী গাণিতিক হাতিয়ার হিসেবে পরিচিত। সরাসরি সূত্রের প্রয়োগ এই পদ্ধতির অন্যতম বড় একটি বৈশিষ্ট্য বা সুবিধা।<br>---
২০. সমীকরণজোটে \( c_1 \) এবং \( c_2 \) দ্বারা সাধারণত কী বোঝানো হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) ধ্রুবক পদ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণের সাধারণ আকারে \( x \) ও \( y \) বাদে যে স্থির সংখ্যাগুলো থাকে তাদের ধ্রুবক বলা হয়। এদের মান চলকের পরিবর্তনের ওপর নির্ভর করে না বলে এরা সমীকরণে সবসময় অপরিবর্তিত থাকে। গাণিতিক ভাষায় এই স্থির রাশিগুলোকে ধ্রুবক বা কনস্ট্যান্ট টার্ম হিসেবে চিহ্নিত করা হয়ে থাকে। এগুলো সাধারণত সমীকরণের ডানপাশে অথবা পৃথক পদ হিসেবে অবস্থান করে থাকে।
২১. সমীকরণজোট সমঞ্জস হওয়ার প্রাথমিক ও প্রধান শর্ত কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) সমাধান থাকা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গণিতে সমঞ্জস বা কনসিস্টেন্ট কথাটির অর্থই হলো ওই সমীকরণজোটের কমপক্ষে একটি সমাধান আছে। যদি কোনো জোটের অন্তত একটি সাধারণ ছেদবিন্দু থাকে তবেই তাকে আমরা সমঞ্জস বলে থাকি। সমাধান না থাকলে সেই জোটকে অসমঞ্জস বা ইনকনসিস্টেন্ট হিসেবে অভিহিত করা হয়ে থাকে আজীবন। সমাধানযোগ্যতা নিশ্চিত করাই হলো সমঞ্জস জোটের মূল চারিত্রিক গাণিতিক বৈশিষ্ট্য।<br>---
২২. \( x - y = 0 \) এবং \( x + y = 0 \) জোটের সমাধান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( (0, 0) \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটি যোগ করলে আমরা পাই \( 2x = 0 \) যেখান থেকে \( x = 0 \) বের হয়। আবার মানটি বসালে \( y = 0 \) পাওয়া যায় যা উভয় সমীকরণের জন্য সত্য। যেহেতু উভয় সমীকরণেই কোনো ধ্রুবক পদ নেই সেহেতু এরা কেবল মূলবিন্দুতেই পরস্পরকে ছেদ করতে পারে। সুতরাং এই জোটের জন্য একমাত্র সঠিক সাধারণ সমাধানটি হলো মূলবিন্দু বা \( (0, 0) \)।<br>---
২৩. \( y = 2x + 1 \) সমীকরণটি কোন ধরণের রেখা নির্দেশ করে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) সরলরেখা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এই সমীকরণে চলক \( x \) এবং \( y \) উভয়ের সর্বোচ্চ ঘাত বা পাওয়ার হলো এক বা \( 1 \)। একঘাতী যেকোনো বীজগাণিতিক সমীকরণ লেখচিত্রে সর্বদা একটি সোজা বা ঋজু সরলরেখা তৈরি করে। এটি মূলত ঢাল ও ছেদক আকৃতির একটি সমীকরণ যা সরলরৈখিক সম্পর্কের একটি চমৎকার উদাহরণ। তাই জ্যামিতিক ভাবে এর উত্তর সর্বদা একটি নিখুঁত সরলরেখা হিসেবেই পাওয়া যাবে।<br>---
২৪. \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2 \) এবং \( ax + by = a^2 + b^2 \) জোটের সমাধান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( (a, b) \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সমীকরণ দুটিতে বিন্দু \( (a, b) \) বসালে দেখা যায় উভয় সমীকরণই গাণিতিকভাবে নিখুঁত ভাবে সিদ্ধ হয়। প্রথমটিতে \( \frac{a}{a} + \frac{b}{b} = 1 + 1 = 2 \) এবং দ্বিতীয়টিতে \( a(a) + b(b) = a^2 + b^2 \) পাওয়া যায়। উভয় পাশের সমতা বজায় থাকায় প্রমাণিত হয় যে \( (a, b) \) এই জোটের জন্য সঠিক সমাধান। এটি প্রতিস্থাপন বা অপনয়ন পদ্ধতিতেও খুব সহজে বের করা সম্ভব।<br>---
২৫. \( x + y = 6 \) এবং \( 2x = 4 \) হলে \( y \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 4 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা পাই \( x = \frac{4}{2} \) যার ফলাফল হলো ২। এখন প্রাপ্ত এই মানটি প্রথম সমীকরণে বসালে আমরা পাই \( 2 + y = 6 \)। পক্ষান্তর করার পর বিয়োগ করলে চলক \( y \) এর মান ৪ পাওয়া যায়। এই মানটি উভয় সমীকরণের গাণিতিক সমতা বজায় রাখতে সঠিকভাবে সাহায্য করে থাকে।<br>---