১. \( \frac{a+b+c+d}{a+b-c-d} = \frac{a-b+c-d}{a-b-c+d} \) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( a:b = c:d \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: পর্যায়ক্রমে দুইবার যোজন-বিয়োজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করি। <br><br>এতে জটিল সমীকরণটি সহজ অনুপাত আকারে চলে আসে। <br><br>অবশেষে \( a/b = c/d \) সম্পর্কটি পাওয়া যায়।<br>---
২. \( a, b, c \) ক্রমিক সমানুপাতী হলে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( b^2 = ac \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( a, b, c \) ক্রমিক সমানুপাতী হলে \( a:b = b:c \) হয়। <br> বা, \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \)。 <br> আরগুণন করলে পাই, \( b^2 = ac \)。 <br> এটি ক্রমিক সমানুপাতের মূল শর্ত।<br>---
৩. \( a:b = 3:4 \) এবং \( b:c = 5:6 \) হলে \( a:b:c = ? \)
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 15:20:24 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রথম অনুপাতকে ৫ দ্বারা গুণ: \( a:b = 15:20 \)。 <br> দ্বিতীয় অনুপাতকে ৪ দ্বারা গুণ: \( b:c = 20:24 \)。 <br> এখানে \( b \) এর মান সমান করা হয়েছে। <br> সুতরাং, \( a:b:c = 15:20:24 \)。<br>---
৪. দুটি রাশির অনুপাত \( 5:7 \) এবং এদের গসাগু ৪ হলে রাশি দুটির লসাগু কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 140 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি রাশি দুটি \( 5x \) এবং \( 7x \)। <br> এদের গসাগু \( x \)। দেওয়া আছে \( x = 4 \)। <br> রাশি দুটির লসাগু \( = 5 \times 7 \times x = 35x \)。 <br> মান বসালে, \( 35 \times 4 = 140 \)。<br>---
৫. \( x:y = 2:3 \) এবং \( y:z = 4:5 \) হলে, \( x:z = ? \)
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 8:15 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \) এবং \( \frac{y}{z} = \frac{4}{5} \)。 <br> গুণ করলে: \( \frac{x}{y} \times \frac{y}{z} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \)。 <br> বা, \( \frac{x}{z} = \frac{8}{15} \)。 <br> সুতরাং, \( x:z = 8:15 \)。<br>---
৬. \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) হলে \( \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \) হওয়ার প্রক্রিয়াকে কী বলে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) যোজন-বিয়োজন
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: লব ও হরের যোগফলকে লবে এবং বিয়োগফলকে হরে <br> বসানোর এই প্রক্রিয়াকে যোজন-বিয়োজন বলে। <br> এটি অনুপাতের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম। <br> সমীকরণ সমাধানে এটি খুব কাজে লাগে।<br>---
৭. একটি ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত \( 3:4:5 \) হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 45^\circ \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাতের যোগফল \( = 3+4+5 = 12 \)। <br> ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি। <br> ক্ষুদ্রতম কোণ \( = 180 \times \frac{3}{12} \)。 <br> \( = 180 \times \frac{1}{4} = 45^\circ \)。<br>---
৮. \( p, q, r, s \) সমানুপাতী হলে নিচের কোনটি সঠিক?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( ps = qr \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( p, q, r, s \) সমানুপাতী হলে \( p:q = r:s \) হয়। <br> অর্থাৎ, \( \frac{p}{q} = \frac{r}{s} \)。 <br> আরগুণন করলে পাই \( ps = qr \)。 <br> প্রান্তীয় রাশির গুণফল = মধ্য রাশির গুণফল।<br>---
৯. দুটি সংখ্যার অনুপাত \( 3:4 \) এবং এদের লসাগু 180 হলে সংখ্যা দুটি কী কী?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 45, 60 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি সংখ্যা দুটি \( 3x \) এবং \( 4x \)। এদের লসাগু \( = 12x \)। প্রশ্নমতে, \( 12x = 180 \Rightarrow x = 15 \)。 সংখ্যা দুটি: \( 3 \times 15 = 45 \) এবং \( 4 \times 15 = 60 \)。 ---
১০. 10, 20, 30 এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 60 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি চতুর্থ সমানুপাতী \( x \)। সূত্রমতে: \( \frac{10}{20} = \frac{30}{x} \)。 বা, \( \frac{1}{2} = \frac{30}{x} \)。 কোণাকুণি গুণ করলে \( x = 60 \)。 ---
১১. \( a:b = 4:5 \) এবং \( a = 16 \) হলে \( b \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 20 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে \( \frac{a}{b} = \frac{4}{5} \)。 <br> মান বসালে, \( \frac{16}{b} = \frac{4}{5} \)。 <br> \( 4b = 80 \)。 <br> বা, \( b = 20 \)。<br>---
১২. \( \frac{x}{y} = \frac{a}{b} \) হলে \( \frac{x}{a} = \frac{y}{b} \) লেখা যায়। একে কী বলে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) একান্তরকরণ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাতের পদগুলোর মধ্যে কোণাকুণি স্থান <br> বিনিময়ের এই প্রক্রিয়াকে একান্তরকরণ বলে। <br> ইংরেজিতে একে Alternendo বলা হয়। <br> এখানে \( y \) এবং \( a \) স্থান পরিবর্তন করেছে।<br>---
১৩. পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত \( 7:2 \)। পিতার বয়স 42 বছর হলে পুত্রের বয়স কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 12 \) বছর
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি, পিতার বয়স \( 7x \) এবং পুত্রের বয়স \( 2x \)। প্রশ্নমতে, \( 7x = 42 \Rightarrow x = 6 \)。 সুতরাং, পুত্রের বয়স \( = 2 \times 6 = 12 \) বছর। ---
১৪. \( x, y, z \) ক্রমিক সমানুপাতী এবং \( x=2 \), \( z=8 \) হলে \( y \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 4 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ক্রমিক সমানুপাতী হলে \( y^2 = xz \)। <br> বা, \( y^2 = 2 \times 8 = 16 \)。 <br> সুতরাং, \( y = 4 \) (ধনাত্মক মান ধরে)। <br> মাঝের পদকে মধ্য সমানুপাতী বলে।<br>---
১৫. একটি সোনার গহনার ওজন 16 গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত \( 3:1 \)। এতে সোনা আছে কত গ্রাম?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 12 \) গ্রাম
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাতের যোগফল \( = 3 + 1 = 4 \)। গহনায় সোনার পরিমাণ \( = 16 \times \frac{3}{4} \)。 \( = 4 \times 3 = 12 \) গ্রাম। ---
১৬. \( a:b = 2:3 \) এবং \( b:c = 4:5 \) হলে, \( a, b, c \) এর আনুপাতিক যোগফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 35 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: \( b \) সমান করতে গুণ করে পাই: <br> \( a:b = 8:12 \) এবং \( b:c = 12:15 \)。 <br> সুতরাং \( a:b:c = 8:12:15 \)。 <br> আনুপাতিক যোগফল \( = 8 + 12 + 15 = 35 \)。<br>---
১৭. 6, 12, 18 এর চতুর্থ সমানুপাতী কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 36 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী \( x \)। তাহলে, \( \frac{6}{12} = \frac{18}{x} \)。 \( \frac{1}{2} = \frac{18}{x} \)。 \( x = 36 \)。 ---
১৮. \( 5:7 \) এর ব্যস্ত অনুপাত কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 7:5 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কোনো অনুপাতের পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি এবং <br> উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি করলে তাকে ব্যস্ত অনুপাত বলে। <br> সুতরাং, \( 5:7 \) এর ব্যস্ত অনুপাত \( 7:5 \)।<br>---
১৯. \( a:b = 3:4 \) হলে \( (2a+b):(a+2b) = ? \)
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 10:11 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি, \( a = 3x \), \( b = 4x \)। <br> \( 2a+b = 2(3x) + 4x = 10x \)。 <br> \( a+2b = 3x + 2(4x) = 11x \)。 <br> অনুপাত \( = 10x : 11x = 10:11 \)。<br>---
২০. একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 36 সে.মি. এবং বাহুগুলোর অনুপাত \( 3:4:5 \) হলে বৃহত্তম বাহু কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( 15 \) সে.মি.
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাতের যোগফল \( = 3+4+5 = 12 \)। বৃহত্তম বাহুর অংশ হলো ৫। বৃহত্তম বাহু \( = 36 \times \frac{5}{12} \)。 \( = 3 \times 5 = 15 \) সে.মি.। ---
২১. \( \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \) হলে \( \frac{x+y}{y} \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \frac{7}{4} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে \( \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \)。 <br> উভয়পক্ষে যোজন করে পাই, <br> \( \frac{x+y}{y} = \frac{3+4}{4} \)。 <br> বা, \( \frac{x+y}{y} = \frac{7}{4} \)。<br>---
২২. 15 লিটার মিশ্রণে সিরাপ ও পানির অনুপাত \( 1:2 \) হলে, সিরাপের পরিমাণ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 5 \) লিটার
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাতের যোগফল \( = 1+2 = 3 \)। সিরাপের পরিমাণ \( = 15 \times \frac{1}{3} \)。 হিসাব করলে পাওয়া যায় ৫ লিটার। ---
২৩. রিনা ও মিনার আয়ের অনুপাত \( 3:5 \)। রিনার আয় 1500 টাকা হলে মিনার আয় কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 2500 \) টাকা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধরি, রিনার আয় \( 3x \) এবং মিনার আয় \( 5x \)। প্রশ্নমতে, \( 3x = 1500 \Rightarrow x = 500 \)。 মিনার আয় \( = 5 \times 500 = 2500 \) টাকা। ---
২৪. \( a:b = b:c \) হলে \( (a^2+b^2) : (b^2+c^2) \) এর মান কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) \( a:c \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে \( b^2 = ac \)। <br> প্রদত্ত রাশি \( = \frac{a^2+ac}{ac+c^2} \)。 <br> \( = \frac{a(a+c)}{c(a+c)} \)。 <br> \( = \frac{a}{c} \) বা \( a:c \)。<br>---
২৫. দুটি রাশির অনুপাত \( 6:11 \) এবং উত্তর রাশি 55 হলে পূর্ব রাশি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( 30 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অনুপাত \( 6:11 \)। উত্তর রাশি (দ্বিতীয় পদ) \( 11x = 55 \Rightarrow x = 5 \)。 পূর্ব রাশি (প্রথম পদ) \( 6x = 6 \times 5 = 30 \)。 ---