১. \( 10 \) জন শ্রমিকের দৈনিক আয় (টাকায়): \( 500, 550, 450, 600, 500, 520, 580, 500, 480, 620 \)। প্রচুরক কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( 500 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উপাত্তে \( 500 \) টাকা আয় তিনবার এসেছে, যা অন্য যেকোনো মানের তুলনায় বেশি। সর্বাধিক উপস্থিত মানই হলো পরিসংখ্যানের প্রচুরক। সুতরাং সঠিক উত্তর হবে \( 500 \)।
---
২. পরিসংখ্যানের অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে মাঝামাঝি মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে কী বলে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) কেন্দ্রীয় প্রবণতা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জীভূত হওয়াকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।
কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপগুলো হলো গাণিতিক গড়, মধ্যক এবং প্রচুরক।
এটি উপাত্তের একটি প্রতিনিধিত্বকারী মান প্রদান করে।
---
৩. গুণবাচক নয় এমন সংখ্যাসূচক তথ্যাবলিকে পরিসংখ্যানের ভাষায় কী বলা হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) উপাত্ত
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: পরিসংখ্যানের মূল কাঁচামাল হলো সংখ্যাসূচক তথ্যাবলি যাকে উপাত্ত বা ডেটা বলা হয়।
যেসব তথ্য সংখ্যায় প্রকাশ করা যায় না তা সরাসরি পরিসংখ্যানের উপাত্ত হিসেবে গণ্য হয় না।
উপাত্ত বিশ্লেষণের মাধ্যমেই পরিসংখ্যানিক ফলাফল লাভ করা যায়।
---
৪. উপাত্তে ব্যবহৃত সংখ্যাসমূহকে নিচের কোনটি বলা হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) চলক
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উপাত্তে ব্যবহৃত প্রতিটি সংখ্যাগত মানকে পরিসংখ্যানের ভাষায় চলক বলা হয়।
চলক সাধারণত দুই প্রকারের হয়ে থাকে: বিচ্ছিন্ন চলক এবং অবিচ্ছিন্ন চলক।
এটি মূলত গবেষণাধীন বিষয়ের পরিবর্তনশীল বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে।
---
৫. যেসব চলকের মান শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা হয় তাদের কী বলা হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) বিচ্ছিন্ন চলক
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেসব চলকের মান শুধুমাত্র গণনাযোগ্য পূর্ণসংখ্যায় প্রকাশ করা হয় তাকে বিচ্ছিন্ন চলক বলে।
যেমন: কোনো পরিবারের সদস্য সংখ্যা অথবা পরীক্ষায় প্রাপ্ত পূর্ণ নম্বর।
এক্ষেত্রে চলকের মানের মাঝে কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক থাকে না।
---
৬. যেসব চলকের মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে তাকে কী বলে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) অবিচ্ছিন্ন চলক
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেসব চলকের মান দুটি সীমার মধ্যবর্তী যেকোনো বাস্তব বা দশমিক সংখ্যা হতে পারে তা অবিচ্ছিন্ন চলক।
যেমন: মানুষের উচ্চতা, ওজন অথবা তাপমাত্রা।
এসব মান নিরবচ্ছিন্নভাবে পরিবর্তিত হতে পারে।
---
৭. নিচের কোনটি বিচ্ছিন্ন চলকের উদাহরণ?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) জনসংখ্যা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: জনসংখ্যা সর্বদা ১, ২ বা ১০০ এর মতো পূর্ণসংখ্যায় হয়, এর কোনো ভগ্নাংশ মান অসম্ভব।
অন্যদিকে বয়স বা ওজন নিখুঁতভাবে মাপলে দশমিক বা ভগ্নাংশে পাওয়া যায়।
তাই জনসংখ্যা একটি নির্দিষ্ট একক সম্পন্ন বিচ্ছিন্ন চলক।
---
৮. শ্রেণি বিন্যস্ত উপাত্তের মধ্যক নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( L + (\frac{n}{2} - F_{c}) \times \frac{h}{f_{m}} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি শ্রেণিবিন্যস্ত উপাত্তের মধ্যক নির্ণয়ের জন্য ব্যবহৃত আদর্শ গাণিতিক সূত্র।
এখানে \( L \) নিম্নসীমা, \( F_{c} \) পূর্ববর্তী ক্রমযোজিত গণসংখ্যা এবং \( f_{m} \) মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা।
সূত্রটি ব্যবহারের মাধ্যমে সারণি থেকে নিখুঁত মধ্যক অবস্থান চিহ্নিত করা হয়।
---
৯. প্রচুরক নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( L + (\frac{f_{1}}{f_{1}+f_{2}}) \times h \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রচুরক হলো ঐ মান যার শ্রেণিতে সর্বোচ্চ গণসংখ্যা বিদ্যমান থাকে।
সূত্রটিতে \( f_{1} \) হলো প্রচুরক শ্রেণি ও পূর্বের শ্রেণির এবং \( f_{2} \) হলো পরের শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য।
শ্রেণি ব্যাপ্তি \( h \) ব্যবহারের মাধ্যমে প্রচুরক মানটি সুনির্দিষ্ট করা হয়।
---
১০. সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \bar{x} = a + \frac{\sum f_{i}u_{i}}{n} \times h \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি বড় উপাত্তের হিসাব সহজ করার জন্য ব্যবহৃত সংক্ষিপ্ত বা 'অ্যাজুমড মীন' পদ্ধতি।
এখানে \( a \) হলো আনুমানিক গড় এবং \( u_{i} \) হলো প্রতিটি শ্রেণির ধাপ বিচ্যুতি।
শ্রেণি ব্যাপ্তি \( h \) দ্বারা গুণ করে চূড়ান্ত গাণিতিক ফলাফল পাওয়া যায়।
---
১১. কোনো উপাত্তের পরিসর নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1 \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: পরিসর হলো উপাত্তের বিস্তৃতি মাপার প্রাথমিক ও সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি।
উপাত্তের সর্বোচ্চ মান থেকে সর্বনিম্ন মান বিয়োগ করে তার সাথে ১ যোগ করতে হয়।
এর মাধ্যমে উপাত্তের সামগ্রিক ব্যাপ্তি বা ডোমেইন সম্পর্কে ধারণা পাওয়া যায়।
---
১২. শ্রেণি সংখ্যা নির্ণয়ের সঠিক পদ্ধতি কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \frac{পরিসর}{শ্রেণি ব্যাপ্তি} \) (পূর্ণসংখ্যায়)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: পরিসরকে একটি নির্দিষ্ট শ্রেণি ব্যাপ্তি দিয়ে ভাগ করলে সারণির জন্য প্রয়োজনীয় শ্রেণি সংখ্যা পাওয়া যায়।
ফলাফল ভগ্নাংশ হলে সর্বদা পরবর্তী পূর্ণসংখ্যাকে শ্রেণি সংখ্যা হিসেবে গ্রহণ করতে হয়।
যেমন: ৫.২ হলে শ্রেণি সংখ্যা হবে ৬ টি।
---
১৩. শ্রেণি মধ্যমান (\( x_{i} \)) বের করার সূত্র কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{উচ্চসীমা + নিম্নসীমা}{2} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: কোনো একটি নির্দিষ্ট শ্রেণির ব্যাপ্তির ঠিক মাঝখানের মানটিই হলো শ্রেণি মধ্যমান।
এটি নির্ণয় করতে ঐ শ্রেণির উচ্চসীমা ও নিম্নসীমা যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করতে হয়।
গাণিতিক গড় নির্ণয় করতে প্রতিটি শ্রেণির এই মধ্যমানটি অত্যন্ত প্রয়োজনীয়।
---
১৪. ধাপ বিচ্যুতি (\( u_{i} \)) নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) \( \frac{x_{i} - a}{h} \)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধাপ বিচ্যুতি হলো শ্রেণি মধ্যমান থেকে আনুমানিক গড়ের দূরত্বের একটি অনুপাত।
মধ্যমান থেকে আনুমানিক গড় বিয়োগ করে তাকে শ্রেণি ব্যাপ্তি দিয়ে ভাগ করা হয়।
এর ফলে বড় উপাত্তের মানগুলো ছোট হয়ে আসে যা হিসাবকে সহজতর করে।
---
১৫. উপাত্তের সংখ্যা \( n \) বিজোড় হলে মধ্যক পদের অবস্থান কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) \( \frac{n+1}{2} \) তম পদ
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: উপাত্ত সংখ্যা বিজোড় হলে মাঝখানে একটি মাত্র সুনির্দিষ্ট পদ থাকে।
সূত্রানুসারে মোট পদের সাথে ১ যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করলে ঐ পদের অবস্থান পাওয়া যায়।
তবে এর আগে উপাত্তগুলোকে অবশ্যই মানের ক্রমানুসারে সাজাতে হয়।
---
১৬. ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি মূলত কোন লেখচিত্র অঙ্কনে ব্যবহৃত হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) অজিভ রেখা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অজিভ রেখা অঙ্কনের জন্য \( y \)-অক্ষে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ব্যবহার করা হয়।
শ্রেণির উচ্চসীমার বিপরীতে ক্রমযোজিত মানগুলো বসিয়ে এই রেখাটি পাওয়া যায়।
এটি উপাত্তের শতকরা অবস্থান বা মধ্যক সম্পর্কে ধারণা দেয়।
---
১৭. আয়তলেখ অঙ্কনে ছক কাগজের \( x \)-অক্ষ বরাবর কোনটি নেওয়া হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) প্রকৃত শ্রেণিসীমা (অবিচ্ছিন্ন)
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আয়তলেখের প্রতিটি কলামের সংযোগ নিশ্চিত করতে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা প্রয়োজন।
এজন্য ছক কাগজের ভূমিতে বা \( x \)-অক্ষে প্রকৃত নিম্নসীমা ও উচ্চসীমা বসানো হয়।
এর ফলে চিত্রটি দণ্ডচিত্রের মতো আলাদা না হয়ে সংযুক্ত থাকে।
---
১৮. আয়তলেখের প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা কী নির্দেশ করে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) সংশ্লিষ্ট শ্রেণির গণসংখ্যা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: আয়তলেখের প্রতিটি কলাম কতটুকু লম্বা হবে তা ঐ শ্রেণির গণসংখ্যার ওপর নির্ভর করে।
গণসংখ্যা যত বেশি হবে কলামটি তত উঁচু দেখাবে।
এটি সরাসরি উপাত্তের ঘনত্ব বা ফ্রিকোয়েন্সি প্রদর্শন করে।
---
১৯. গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কনের জন্য নিচের কোনটি অপরিহার্য?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) শ্রেণি মধ্যবিন্দু
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বহুভুজ অঙ্কনের জন্য \( x \)-অক্ষে প্রতিটি শ্রেণির মধ্যবিন্দু চিহ্নিত করতে হয়।
এই বিন্দুগুলোর সাথে সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যার উচ্চতা যোগ করে বহুভুজ পাওয়া যায়।
আয়তলেখের কলামগুলোর শীর্ষবিন্দু যোগ করেও এটি আঁকা সম্ভব।
---
২০. অজিভ রেখা ছক কাগজের কোন দিক থেকে কোন দিকে ধাবিত হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) নিচ থেকে ওপরের দিকে
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: অজিভ রেখা সর্বদা ঊর্ধ্বগামী হয় কারণ এটি ক্রমযোজিত গণসংখ্যা দিয়ে গঠিত।
যেহেতু গণসংখ্যা সবসময় যোগ হয়ে বৃদ্ধি পায়, তাই রেখাটি ক্রমান্বয়ে ওপরের দিকে যায়।
এটি উপাত্তের ক্রমবর্ধমান সমষ্টি প্রকাশ করার একটি মাধ্যম।
---
২১. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বেশি জনপ্রিয় ও নির্ভরযোগ্য?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) গাণিতিক গড়
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: গাণিতিক গড় উপাত্তের প্রতিটি পদের ওপর ভিত্তি করে নির্ণয় করা হয়।
এটি গাণিতিকভাবে সবচেয়ে বেশি স্থিতিশীল এবং বিশ্লেষণধর্মী।
বিপুল তথ্যের প্রতিনিধিত্বকারী মান হিসেবে গড়ের ব্যবহার সর্বাধিক।
---
২২. কোনো উপাত্তে যদি কোনো সংখ্যাই একাধিকবার না থাকে, তবে তার প্রচুরক কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) প্রচুরক নেই
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রচুরক হতে হলে উপাত্তের কোনো একটি সংখ্যাকে অবশ্যই অন্তত দুই বা ততোধিক বার থাকতে হয়।
যদি সব সংখ্যা মাত্র একবার করেই থাকে, তবে সেখানে কোনো গরিষ্ঠ মান নেই।
গাণিতিক ভাষায় এ ধরনের উপাত্তের কোনো প্রচুরক বিদ্যমান থাকে না।
---
২৩. মধ্যক নির্ণয়ে ব্যবহৃত \( F_{c} \) দ্বারা কী বোঝানো হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) মধ্যক শ্রেণির ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণির যোজিত গণসংখ্যা
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সূত্রানুসারে \( F_{c} \) হলো মধ্যক শ্রেণির ঠিক আগের শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা।
যোজিত মান ব্যবহারের ফলে মধ্যকের সঠিক গাণিতিক অবস্থান নির্ণয় সহজ হয়।
এটি মধ্যক সূত্রের একটি অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ প্যারামিটার।
---
২৪. উপাত্তের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের ব্যবধানকে কী বলে?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) পরিসর
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: একটি উপাত্ত সংগ্রহের সীমা বা বাউন্ডারিকে পরিসর বলা হয়।
এটি সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের গাণিতিক পার্থক্য নির্দেশ করে।
পরিসংখ্যানিক সারণি তৈরির প্রাথমিক ভিত্তি হলো এই পরিসর।
---
২৫. পরিসংখ্যানের উপাত্ত কয় ধরনের উৎস থেকে সংগৃহীত হতে পারে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) ২ ধরনের
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: পরিসংখ্যানের উপাত্ত সাধারণত প্রাথমিক ও মাধ্যমিক—এই দুই উৎস থেকে পাওয়া যায়।
সরাসরি অনুসন্ধান ক্ষেত্র থেকে সংগৃহীত উপাত্ত হলো প্রাথমিক উপাত্ত।
অন্য কোনো প্রতিষ্ঠান বা উৎস থেকে নেওয়া উপাত্ত হলো মাধ্যমিক উপাত্ত।
---