১. $ (1 + y)^8 $ বিস্তৃতিতে $ y^5 $ এর সহগ নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $ 56 $
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $ ^8C_5 = ^8C_3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 $।
২. $ \begin{matrix} & & & 1 & & & \\ & & 1 & & 1 & & \\ & 1 & & 2 & & 1 & \\ 1 & & 3 & & 3 & & 1 \end{matrix} $ উপরের ত্রিভুজ মডেলটির আবিষ্কারক কে?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) প্যাসকেল
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: এটি প্যাসকেলের ত্রিভুজ নামে পরিচিত। দ্বিপদী সহগ নির্ণয়ের জন্য ফরাসি গণিতবিদ ব্লেইজ প্যাসকেল এটি আবিষ্কার করেন।
৩. $(1+y)^5$ এর বিস্তৃতিতে পদের সংখ্যা কয়টি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 6
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: দ্বিপদী বিস্তৃতিতে ঘাত $n$ হলে পদসংখ্যা হয় $n+1$। এখানে ঘাত 5, তাই পদসংখ্যা 6।
৪. প্যাসকেলের ত্রিভুজে 4th সারির সহগগুলো কী কী? (যেখানে $n=3$)
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 1, 3, 3, 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্যাসকেলের ত্রিভুজে $n=3$ ঘাতের জন্য 4th সারির সহগগুলো হলো 1, 3, 3, 1।
৫. $(1+2x)^3$ এর বিস্তৃতিতে $x^2$ এর সহগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 12
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বিস্তৃতিটি হলো $1 + 3(2x) + 3(2x)^2 + (2x)^3$। তাই $x^2$ এর সহগ $3 \times 4 = 12$।
৬. $(1-x)^4$ এর বিস্তৃতিতে $x^3$ এর সহগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) -4
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বিস্তৃতির 4th পদটি হলো $4 \times 1 \times (-x)^3 = -4x^3$। তাই সহগ -4।
৭. দ্বিপদী রাশির ঘাত 0 হলে এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কত হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ঘাত $n=0$ হলে সূত্রানুযায়ী পদসংখ্যা হবে $0+1 = 1$টি।
৮. $(1+y)^4$ বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $6y^2$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $n=4$ হলে পদসংখ্যা 5। মধ্যপদটি হলো 3rd পদ, যার মান $6y^2$।
৯. প্যাসকেলের ত্রিভুজের যে কোনো সারির প্রথম ও শেষ সংখ্যাটি কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্যাসকেলের ত্রিভুজের গঠন অনুযায়ী প্রতিটি সারির শুরু ও শেষে 1 থাকে।
১০. $(1+x)^n$ এর বিস্তৃতিতে $x$ এর ঘাত কীভাবে পরিবর্তিত হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) ক্রমান্বয়ে বাড়ে
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $(1+x)^n$ এর বিস্তৃতিতে $x$ এর ঘাত 0 থেকে শুরু হয়ে ক্রমান্বয়ে 1 করে বাড়তে থাকে।
১১. $(1-y)^5$ এর বিস্তৃতিতে শেষ পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $-y^5$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: 6th বা শেষ পদটি হলো $(-y)^5$, যার মান $-y^5$।
১২. $(1+3x)^2$ এর বিস্তৃতি নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $1+6x+9x^2$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $(a+b)^2$ এর সূত্র অনুযায়ী $1^2 + 2(1)(3x) + (3x)^2 = 1+6x+9x^2$।
১৩. $(2+x)^3$ এর বিস্তৃতিতে ধ্রুবক পদ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 8
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ধ্রুবক পদটি হলো প্রথম পদের ঘন, অর্থাৎ $2^3 = 8$।
১৪. প্যাসকেলের ত্রিভুজে পরপর দুটি পদের যোগফল কোথায় বসে?
✓ সঠিক উত্তর: (ঘ) ঠিক নিচে মাঝবরাবর
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্যাসকেলের ত্রিভুজের নিয়ম হলো উপরের সারির পাশাপাশি দুটি পদের যোগফল ঠিক নিচে মাঝে বসে।
১৫. $(1+\frac{x}{2})^4$ এর বিস্তৃতিতে $x^2$ এর সহগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{3}{2}$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: 3rd পদ হলো $6 \times (\frac{x}{2})^2 = 6 \times \frac{x^2}{4} = \frac{3}{2}x^2$। সহগ $\frac{3}{2}$।
১৬. $(x+y)^n$ বিস্তৃতিতে পদের সংখ্যা নিচের কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $n+1$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: যেকোনো দ্বিপদী বিস্তৃতির ঘাত $n$ হলে তার পদসংখ্যা সর্বদা $n+1$ হয়।
১৭. $(1-2x)^4$ বিস্তৃতিতে $x$ এর বিজোড় ঘাতযুক্ত পদগুলোর চিহ্ন কী হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) ঋণাত্মক
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $(-2x)$ এর বিজোড় ঘাতের কারণে পদগুলোর মান ঋণাত্মক হবে।
১৮. $(1+x)^5$ বিস্তৃতিতে $x$ এর ঘাত 3 হলে তার সহগ কত হবে?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 10
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্যাসকেলের ত্রিভুজ অনুযায়ী $n=5$ এর সহগ 1, 5, 10, 10, 5, 1। তাই 4th পদের সহগ 10।
১৯. $(1-x)^3$ এর বিস্তৃতিতে $x$ এর সহগ কত?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) -3
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: বিস্তৃতিটি $1 - 3x + 3x^2 - x^3$। তাই $x$ এর সহগ -3।
২০. প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করে $(1+y)^6$ বিস্তৃতির সহগগুলো বের করতে কততম সারি দরকার?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 7th
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: ঘাত 6 হলে পদসংখ্যা 7, তাই প্যাসকেলের ত্রিভুজের 7th সারির মানগুলো প্রয়োজন।
২১. $(1+\frac{1}{x})^3$ এর বিস্তৃতিতে শেষ পদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) $\frac{1}{x^3}$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: শেষ পদটি হবে দ্বিতীয় পদের সর্বোচ্চ ঘাত, অর্থাৎ $(\frac{1}{x})^3 = \frac{1}{x^3}$।
২২. $(a+b)^n$ এর বিস্তৃতিতে $a$ এর ঘাত কীভাবে পরিবর্তিত হয়?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $n$ থেকে কমে 0 হয়
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: প্রথম পদ $a$ এর ঘাত সর্বোচ্চ $n$ থেকে শুরু হয়ে প্রতি পদে 1 করে কমে 0 তে পৌঁছায়।
২৩. $(1+x)^4$ বিস্তৃতিতে সহগগুলোর যোগফল কত?
✓ সঠিক উত্তর: (গ) 16
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: সহগগুলো হলো 1, 4, 6, 4, 1। এদের যোগফল $1+4+6+4+1 = 16$।
২৪. $(1-x)^6$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) $-20x^3$
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: 7টি পদের মধ্যে 4th পদটি মধ্যপদ। 4th পদ = $20 \times (-x)^3 = -20x^3$।
২৫. $n=2$ এর জন্য প্যাসকেলের ত্রিভুজের সারি কোনটি?
✓ সঠিক উত্তর: (খ) 1, 2, 1
পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা: $n=2$ হলে দ্বিপদী বিস্তৃতির সহগগুলো 1, 2, 1 হয়।